complexe

Bonjour,
G={z€C/lzl=1,Re(z)€Q,Im(z)€Q}
Montrer que G est un ensemble infini.

C'est de l'analyse ça ?

Supposons que Re(z)€Q+ et Im(z)€Q+ pour simplifier.

Et puisqu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens, G est donc infini.

-remarquons ds un 1er temps que { z€IC / |z|=1 } est décrit par le cercle (O, 1) de centre O é de rayon 1 ds le plan (IR, iIR).

-remarquons aussi que sous la condition |z|=1, il suffit que Re(z) ou Im(z) appartienne à IQ pour que l'autre( Im(z) ou IQ(z) ) le soit aussi, vue que Re²(z)+Im²(z)=1.

La réponse : vue que IQ est danse dans [0, 1], il suffit de fixer un rationnel "r"(qui sera notre Re(z)) ds cet interval est faire l'intersection de la droite x=r est le cercle dont on a parlé. on trace ainsi la droite parallele a (x'Ox), l'intersection de cette droite avec iIR est le imaginaire Im(z), qui est egalement rationel d'apres la 2eme remarque.

ainsi tout se base sur la densité de IQ ds [-1, 1].
d'où l'infinité de G

BJR maxima !!

J'apprécie tes efforts MAIS :

maxima a écrit:

......
-remarquons aussi que sous la condition |z|=1, il suffit que Re(z) ou Im(z) appartienne à IQ pour que l'autre( Im(z) ou IQ(z) ) le soit aussi, vue que Re²(z)+Im²(z)=1. ....

Ceci est FAUX !!
Tu prends Rez=1/2 ce qui te donnera (Imz)^2=3/4
et de là Imz peut être (1/2).rac(3) ou bien -(1/2).rac(3) qui sont en tous cas IRRATIONNELS .....

Il faut donc CREUSER un peu plus .....
L'idée de Dijkscheieir est la MEILLEURE voie et c'est en fait LA SOLUTION .
Bravo Dijkschneieir !!

Amicalement . LHASSANE

Bonjour


Quand à moi, je ne suis pas tout de suite d'accord avec Dijkscheieir
Pour lui un triplet pythagoricien (a,b,c) fournit la solution (a/c)+ i(b/c)

Mais l'application PHI :(a,b,c) -> (a/c)+ i (b/c) n'étant pas injective , comment
justifie t il l'infinitude demandée ?


(l'application en question est définie de T l'ensemble des triplets pythagoriciens
vers U l'ensemble des nombres complexes de module 1. Elle n'est pas injective car par exemple elle est constante sur la partie de T suivante : X={(3m,4m,5m) / m \in IN* } , e effet pour tout (x,y,z) € X on a: PHI((x,y,z))=(3/5)+(4/5)i )

on rappelle (pour ceux qui l'ignorent) qu'un triplet pythogoricien est un triplet (x,y,z) d'entiers tel que x^2+y^2=z^2

bonjour

Alors !! vous ne dites rien !!!

la question est toujours sans réponse !!!

Je ne prétend pas détenir la réponse correcte, et voilà, en toute humilité, une réponse plus détaillée :
(pn,qm,qn) forme donc un triplet pythagoricien.
Ainsi, si on pose :
Alors (pn)²+(qm)²=(qn)² est vraie.
Et on peut jouer sur (x,y) à l'infini et comme on veut.
Les triplets (pn,qm,qn) qui s'en déduisent sont donc également infinis.
Et si je ne fais de sophisme, je crois que cela implique aussi que les couples (p/q,m/n) sont infinis.

Je crois, si je vous ai compris, que c'est le passage de l'avant-dernière à la dernière phrase qui pose problème ?

Pour n entier >0 soit x_n=(n²-1)/(n²+1)+2in/(n²+1)
Il est clair que (x_n) est une suite infinie de G ( n-->(n²-1)/(n²+1) est injective de N dans Q)

Bonsoir :

Dijkschneier a écrit:

Je crois, si je vous ai compris, que c'est le passage de l'avant-dernière à la dernière phrase qui pose problème ?

Tout à fait c'est elle qui pose le probléme.

La réponse de Abdelbaki est une conséquence du paramétrage du cercle unité connu :
x=(t^2-1)/(t^2+1) et y=2t/(t^2+1)
Comme on le voit ce sont des fonctions rationnelles sur Q et par suite elles stabilisent Q et on voit que chacune d'elle est strictement monotone sur des intervalles bien détérminés ce qui permet d'avoir une infinité de points rationnels

Merci Dijkschneier et Abdelbaki pour vos suites rapides données à cette question