bonjour
Notations LaTeX:
x \neq y veut dire x différent de y
x \leq y veut dire x < ou = à y
x \geq y veut dire x > ou = à y
je suppose que n \geq 2 (sinon pour n=1 c'est trivial...)
On peut raisonner par récurrence sur n
si n=2, il suffit d'écrire A=matr[a,b][b,c] et calculer son
polynôme carac ...
pour l'hérédité on va utiliser le lemme suivant
lemme
si n\geq 2 alors pour tout f \in L(E) on a : f admet aux moins un
sous-espace stable de dimension \neq 0 et \leq 2
preuve:
la famille (Id,f,...,f^n) est liée dans L(E) (à toi de dire pqoi) il
existe donc un polynômes P non nul tel que P(f)=0.
Quitte à diviser par le coefficient dominant on peut prendre celui-ci égal
à 1 On décompose P en facteurs irréductibles : P=P_1 ... P_s avec
P_k de degré 1 ou 2 (ici IK =IR ou C) P(f)=0 donc P_1(f) o ...oP_s-f) =0
et par suite il existe un k entre 1 et s tel que P_k est non injectif (tu justifies ça) .
1er cas : deg(P_k)=1 , P_k=X-a => f=a Id c'est fini
2e cas : deg(P)=2 alors P=X^2-aX-b dés lors f²=af+b Id
Comme P_k(f) non injectif il existe un vecteur u non nul tel
que f²(u)=a f(u)+bu
Soit F= Vect{u,f(u)} alors F est stable par f et F non nul et
de dim \leq 2
La suite est facile
tu suppose P(n) vraie
Soit E de dim n+1
et f \in L(E)
Soit F un sev de E de dim 1 ou 2 stable par f
comme f est symétrique on a l'orthogonale de F est stable par f
si tu es initié tu peux terminer, sinon avertis moi ...
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