Un exercie Facile ;)

[center][b] a et b E Q
montrez que: A+B√2=0 <=> (a=0 et b=0)

J'aime voir quelques réponses, Et merci

bienvenue alaycoh, il s'agit plutôt de montrer que √2 est irrationel sinon c immédiat
Soit :
A=a/b
B=c/d ; avec (a,b,c,d) sont des entiers ; b et d non nuls
l'implication (A=0 et B=0) => A+B√2=0 est clair
B√2=-A => bc √2=-da => h√2=y avec h=bc et y=-da => h et y sont de même signe
=> m√2=n avec m et n sont des entiers tq : 0=<m,n<+inf (m=h ou -h ; n=y ou -y)
=> 2m²=n² => n² est pair => n est pair => n=2k => 2m²=4k² => m²=2k²
=> m² est pair => m est pair => m=2s => 2s√2=-2k => s√2=-k
similairement : s√2=-k => s=2i et k=2p sont pairs et donc : i√2=-p => m=2s=2²i
... ainsi : pour tout entier j il existe un entier g tel que : m=g(2^j) ; pour j=m il existe donc un entier u tq : m=u(2^m) donc u=0 est la seule solution possible => m=0 => n=m√2=0 => A=0 et B=0

Amicalement . Mounir

Merci bien Mounir
c "Bahtat" nn ?!

wi c bien moi

Alors c b1 que t es la; parceque j'ai trouvé une solution diff..:

a+b√2=0 <=> (a=0 et b=0)

etape1:
a+b√2=0 => a=-b√2
On a "b E Q" et "√2 E/ Q"
Alors" a E/ Q"
Donc a=0 et b=0
etape2:
a-b√2=0 => a=0 et b=0
a-b√2=0 => a=b√2
On a "a E Q" et "√2 E/Q"
Alors que" a E/ Q"
Donc a=0 et b=0

Comment tu a trouvé cette solut.. alors ?!

si tu suppose que √2 est irrationnel (sans le démontrer, car la dessus g donné la démonstration) alors c facile dans ce cas

prouver que A+B√2=0 => (A=0 et B=0) est équivalent à prouver que (A!=0 ou B!=0) => A+B√2!=0
par absurde, suppose que A ou bien B est non nuls, alors A et B sont non nuls (car A+B√2=0) donc √2=-A/B => absurde avec le fait que √2 est irrationnel ... donc on a bien A+B√2!=0 (sachant que A et B sont rationnels) d'où le résultat ..

... je ne vois pas à quoi mène votre étape 2 ...

bon,
dans l'étape2, brite nbaynae liltisame 2 : a-b√2=0 => a=0 et b=0
et moi aussi je crois pas à ce que j'ai ecrii , l'idée hya liktabte mais bache nt3amal m3aha j ne sais pas comment !

essaye d'organiser tes idées et de bien comprendre ce que j'ai écrit ..

merci, j veux voir

Bon voici ma méthode :
On commence par démontrer d'abord que (a=0etb=0)=>(a+bV2=0)
C'est bien clair remplacçons dans l'égalité et c'est fait .
Deuxièment démontrons que : P:(a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (1)
P est une expression.
Donc la négation de P est :(a+bV2=0)et(a#0oub#0)
premier cas (a+bV2=0et a#0):
a+bV2=0 => a=-bV2=>V2a=-2b=>V2=-2b/a € Q
et V2 n'appartient pas à Q . Absurde!
deuxieme cas (a+bV2=0et b#0):
a+bV2=0=>V2=-a/b € Q
et -V2 n'appartient pas à Q. Absurde !
Ce qui fait que la négation de P est fause donc P est juste :
donc (a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (2)
et de (1)et de (2) on trouve que :
(a+bV2=0)<=>(a=0etb=0)


Amicalement

merci Mehdi; moi ausii j'ai d la meme idée mais l probl c de l'organisation !!
:p mercii mr

C'est rien

Mehdi.O a écrit:

Bon voici ma méthode :
On commence par démontrer d'abord que (a=0etb=0)=>(a+bV2=0)
C'est bien clair remplacçons dans l'égalité et c'est fait .
Deuxièment démontrons que : P:(a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (1)
P est une expression.
Donc la négation de P est :(a+bV2=0)et(a#0oub#0)
premier cas (a+bV2=0et a#0):
a+bV2=0 => a=-bV2=>V2a=-2b=>V2=-2b/a € Q
et V2 n'appartient pas à Q . Absurde!
deuxieme cas (a+bV2=0et b#0):
a+bV2=0=>V2=-a/b € Q
et -V2 n'appartient pas à Q. Absurde !
Ce qui fait que la négation de P est fause donc P est juste :
donc (a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (2)
et de (1)et de (2) on trouve que :
(a+bV2=0)<=>(a=0etb=0)

Amicalement

?! = Blundy !

Ce qui est en rouge: (a,b) appartiennent à IQ n'implique pas b/a £ IQ ! C'est faux !
Contre exepmle: (5/11 , 6/7) ... (5/11)*(6/7) = 30/70 qui n'appartient pas à IQ !

M.Marjani a écrit:

(5/11)*(6/7) = 30/77 qui n'appartient pas à IQ !

30/77 appartient bien à Q ; pourquoi pas ?

salam

par l'absurde

supposons que B non nul

V2=-A/B = p/n (p,n entiers premiers entre eux)

===> 2.n²=p² ====> p pair=2p'

2.n² = 4.p'² ===> n²= 2.p'² ====> n pair

or n et p sont premiers entre eux , donc c'est absurde.

....................................................................

M.Marjani a écrit:

Mehdi.O a écrit:

Bon voici ma méthode :
On commence par démontrer d'abord que (a=0etb=0)=>(a+bV2=0)
C'est bien clair remplacçons dans l'égalité et c'est fait .
Deuxièment démontrons que : P:(a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (1)
P est une expression.
Donc la négation de P est :(a+bV2=0)et(a#0oub#0)
premier cas (a+bV2=0et a#0):
a+bV2=0 => a=-bV2=>V2a=-2b=>V2=-2b/a € Q
et V2 n'appartient pas à Q . Absurde!
deuxieme cas (a+bV2=0et b#0):
a+bV2=0=>V2=-a/b € Q
et -V2 n'appartient pas à Q. Absurde !
Ce qui fait que la négation de P est fause donc P est juste :
donc (a+bV2=0)=>(a=0etb=0) (2)
et de (1)et de (2) on trouve que :
(a+bV2=0)<=>(a=0etb=0)

Amicalement

?! = Blundy !

Ce qui est en rouge: (a,b) appartiennent à IQ n'implique pas b/a £ IQ ! C'est faux !
Contre exepmle: (5/11 , 6/7) ... (5/11)*(6/7) = 30/70 qui n'appartient pas à IQ !

La somme de deux nombres rationnels est un nombre rationel!!
le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel!!
le résultat de la division de deux nombres rationnels est un nombre rationnel!!
C'est une règle générale ça .
P.S: Un nombre rationnel s'écrit de cette façon x=p/q tel que p€Z et q€IN*.

@hypermb: Oui, certes.

PS: Pour cette exercise je l'ai résolu façilement, directement ! La réciproque trés façile, il reste le premier sens: a/V2 = -b , donc a=kV2 (k £ IZ*-{V2}) ou a=0 , a£IQ mais V2 n'apartient pas à IQ (façile à démontrer) d'ou a=0 ce qui conduit à b=0 ^^

Bon, voici directement la reponse :
on demontrons que: a=0 et b=0 => a+bV2=0
=>a=0 et bV2=0
=>a+bV2=0
on demontrons que: (1) a=0 et b=0 => a+bV2=0
=> a=-bV2
supposons que: b=/0
a=-bV2 => -a/b=V2
on a: (a,b)E Q²
donc: -a/b E Q, et c'est contradictoire avec V2 E/ Q
alors ce qu'on a supposé est faux
donc b=0 ---> a=0
(2) a+bV2=0 => a=0 et b=0
Final.. de (1) et (2) on a: a+bV2 => a=0 et b=0