Tenez vos stylos !! Voilà un exo de fou

Salut tout le monde !
Comme d'hab, voilà un exo pour les vrais matheux que vous êtes
Soit f une fonction définie par : f(x) = xpuissance(n+1) -2xpuissance(n) +1
1) Montrer que f est décroissante sur l'intervalle [0;2n/(n+1)]
2) déduire que f(2n/(n+1)) <0
montrer que: il existe alpha appartenant à [2n/(n+1)] / f(alpha) = 0
3) Montrer que : alpha puissance(n) = 1/(2-alpha)
Bonne chance

n appartient a koiii ???

a N bien sûr

salut,merci pr l'exo
1)f(x) = xpuissance(n+1) -2xpuissance(n) +1
f'(x) =(n+1)*x^(n) -2n*x^(n-1) = x^(n-1) ((n+1)x-2n)
et on a 0<x<2n/(n+1)
donc (n+1)x-2n<0
donc f'(x)<0 donc f est decroissante.
2)on a n>=1
donc 2n>=n+1
donc 2n/(n+1)>=1
puisque f decroissante donc f(2n/(n+1))=<f(1)=0
donc f(2n/(n+1))=<0
puisque f est continue sur [0;2n/(n+1)] (fonction polynome) et f(2n/(n+1))*f(0)<0
donc il existe alpha appartenant à [2n/(n+1)] / f(alpha) = 0
3) on a : il existe alpha appartenant à [2n/(n+1)] / f(alpha) = 0
donc il existe alpha appartenant à [2n/(n+1)] , (alfa)^(n+1) -2(alfa)^(n) +1= 0
.................................................................., (alfa)^(n)(alfa -2) = -1
.................................................................., (alfa)^(n)(2-alfa)=1
.................................................................., (alfa)^(n)=1/(2-alfa)


n>=1 parce si n = 0 on aura pour f'(x) = (0+1)*x^(0) =1 donc f'(x) constante alors elle n'est decroissante

n n'appartient pas a N mais a N*

voila c ça

n appartient à N*-{1}
parce que si n=1: 2n/(n+1)=1 alors f(2n/(n+1))=f(1)=0 et selon la question 2), f(2n/(n+1)) est STRICTEMENT inférieure à 0. d'où l'absurde !