Exo typique des applications !

Soit l'application , f : ]-oo , -2[ -------> IR
x -------> x²/(1+x)
1)- Démontrer que F tabayouni !
2) - Quelle est la valeur de F en sachant que F = f(]-oo,-2[)

Soit l'application , g : ]-oo ; -2[ ------->F
x ------->f(x)
3)-Démontrez que g ta9aboul , puis calculez g^-1 (x)
4)-Calculez bi dalalate x : [ g^-1 ( x) ] ² / [ 1 + g^-1 (x) ]

Toujours rien ? !! courage :p

Allez motivez vous un peu , je dois avoir la soluce d'ici demain ca serait sympa =) merci d'avance aux postuleurs !

Bonsoir

Je nepeux pas te filer toute ma solution (J'ai un devoir du math demain) bon voiçi le début:

L'injectivité de f: (A(x,y)£ ]-oo ; -2[²) / f(x)=f(y)
f(x)=f(y) <=> x²/(1+x)=y²/(1+y) <=> x²(1+y)-xy²-y²=0
Delta= y^4+4y²(1+y)=y²(y²+4y+4)=[y(y+2)]² ; Donc x=y ou x=-y/(y+1)

* Si x=-y/(y+1) : on remplace x par sa valeur dans x²/(1+x)=y²/(1+y):
Alors aprés simplification 1/(y+1)*1/(y+1)=1 <=> (y+1)²=1 <=> y=0 ou y=-2 Contradiction avec y<-2. On déduit que f(x)=f(y) => x=y et donc f injective.

2/ Soit x£]-oo ; -2[ donc x<-2 . On veut f(]-oo , -2[) et on a f(x)=x²/(x+1) donc il suffit d'encadrer f(x):

x<-2 => {x²>4 et x+1<-1} => {x²>4 et -1<1/(x+1)<0} alors x²/(1+x)<-4
D'ou f(x)£]-oo, -4[ donc: f(]-oo , -2[)=]-oo, -4[=F

Pour l'autre question, tu vas démontrer que f est bijective sachant que f:]-oo ,-2[ ---> ]-oo, -4[ . Il te suffit de démontrer que f est surjective (De la méme façon avec delta, mais cette fois-çi f(x)=y) car elle est déjà injective, et tu en déduit que f bijective.

Tu vas avoir x=y(1-V5)/2 et donc x(1-V5)/2 est g^-1(x) : )

Pour la premiere j'ai une autre réponse:
f(x) = f(y) => x²/(1+x)=y²/(1+y)
=>x²(1+y)=y²(1+x)
=> x²+x²y - y² - y²x =0
=> (x-y)(x+y) + xy(x-y) = 0
=> (x-y)(x+y+xy)=0
=>x=y ou x+y+xy=0
On a x<-2 et y<-2 donc x+y<-4 et xy>4 d'où -xy<-4
Alors x+y+xy< -8 par suite x+y+xy=0 est fausse
f(x)=f(y) => x=y f injectif

La deuxième question j'ai suivi exactement le même raisonnement que marjani , par conséquent si on prend un élément de l'intervalle ]-oo;-4[ on va obtenir des résultats ; je veux dire que Ay £ ]-oo;-4[ , E!x £ ]-oo ; -2 [
A suivre

soumitous a écrit:

On a x<-2 et y<-2 donc x+y<-4 et xy>4 d'où -xy<-4
Alors x+y+xy< -8 par suite x+y+xy=0 est fausse
f(x)=f(y) => x=y f injectif

Je pense que ta déduction est juste pour x + y - xy , j'ai utilisé la même méthode que toi sauf que je ne suis pas arrivé a cette contradiction : on a x + y < -4 et xy > 4 donc Ax £ ]-oo , -2[ , x + y + xy =/= 0 .

PS : Mr Mokhtar , il faudrait que tu apportes un changement à ta phrase :
tu as écris : A(x,y) £ ]-oo ;-2[ / f(x) = f(y) ce qui est totalement faux ( pour démontrer l'injectivité de l'application ) il faut ajouter l'implication ===> x = y , je pense que c'est juste un oubli de ta part mais tâche de ne pas oublier ça durant l'examen ^^

salam

f(]-oo , -2[)=]lim-00f(x) , f(-2)[=]-00,-4[ car f est strictement croissante sur ]-oo , -2[

g^-1(x)=(x-rac(x^2+4x))/2

4)(g^-1(x))2/1+g^-1(x) =f(g^-1(x))=f0g^-1 (x)=identité(x)

Salam tisffola , n'oublie pas qu'on est en première seulement et qu'on a pas encore étudié les limites , donc ta solution reste inappropriée pour notre niveau .
Merci de proposer une méthode plus adaptée à nos connaissances si possibles =)

Mim a écrit:

Salam tisffola , n'oublie pas qu'on est en première seulement et qu'on a pas encore étudié les limites , donc ta solution reste inappropriée pour notre niveau .
Merci de proposer une méthode plus adaptée à nos connaissances si possibles =)

BSR Mim !!

Dans ce Topic sur MathsLand :

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=2&identifiant=c9d10ed7dc83ddd851c77f7b4e36312b

Mr Mohamed a répondu à cette question en utilisant les outils qu'il faut ....
Pour l'essentiel :
1) Tu montres que pour tout x dans ]-oo,-2[, f(x)+4={(x+2)^2}/(x+1) a le signe de (x+1) donc est NEGATIF d'ou f(x)<-4 ainsi F est inclus dans ]-oo;-4[
2) Tu montres , réciproquement , que pour tout y dans }-oo;-4[ il existe un x dans ]-oo;-2[ tel que f(x)=y c'est à dire que tu vas résoudre l'équation du Second Degré en x
x^2-x.y-y=0 ou y est un paramètre et x l'inconnue à trouver dans ]-oo;-2[ .
Ce qui te permettra de conclure que }-oo;-4[ est inclus dans F .

C'était là , en substance , la solution de Mr Mohamed .....
Merci à Lui ....


Amicalement . LHASSANE

Merci beaucoup MR Lahsan , tu m'as fais découvrir un nouveau forum au passage , d'autant plus que la fille proposant les exo est dans la même classe que moi , donc j'ai eu droit aux solutions d'autres exercices aussi , merci bien