ex 64 p 88( almoufid)

soit (Un) une suite tel que (Un)²=1 pour tt n de IN
on considère la suite (Xn) définie par:
Xn=((Uo)/1)+((Uo.U_1)/2)+((Uo*U_1...Un)/(2^n))

prouver que (Xn) est convergente

Bonsoir Fermat
Je ne dispose pas du manuel , es-tu sûr de l'exercice ??? parce que c'est trivial à mon avis !
il faut tout simplement faire une disjonction de cas sauf erreur biensur !!
1er cas : si U_n=1 on aura affaire à la série Sn=sigma allant de k=0 jusqu'à n de 1/(2^k) (une somme d'une suite géométrique )
2ème cas: si U_n=-1 on aura affaire à la serie Vn= -sigma allant de k=0 jusqu'à n de (-1/2)^k
Amicalement et Bonne chance

salut,
pour touver que Lim (Xn)²=4 il suffit de prendre Vn= (Un)^(n) / 2^(n) ,prouver que Vn est geometrique ...

Fermat-X a écrit:

soit (Un) une suite tel que (Un)²=1 pour tt n de IN
on considère la suite (Xn) définie par .....

BSR à Vous !!

Cet exo est loin d'être une évidence ..
L'hypothèse (Un)²=1 pour tout n
n'entraine pas que :
POUR TOUT n , Un=1
OU
POUR TOUT n , Un=-1
comme le pense tarask ...... en fait pour chaque n , Un peut être égal à 1 ou à -1 .

Celà étant , Je vous laisse continuer votre débat !!

Amicalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

Fermat-X a écrit:

soit (Un) une suite tel que (Un)²=1 pour tt n de IN
on considère la suite (Xn) définie par .....

BSR à Vous !!

Cet exo est loin d'être une évidence ..
L'hypothèse (Un)²=1 pour tout n
n'entraine pas que :
POUR TOUT n , Un=1
OU
POUR TOUT n , Un=-1
comme le pense tarask ...... en fait pour chaque n , Un peut être égal à 1 ou à -1 .

Celà étant , Je vous laisse continuer votre débat !!

Amicalement . LHASSANE

Bonsoir Monsieur
je vois de quoi vous parlez !
je traduis :
on a U1= ou U1=-1
et U2=1 ou U2=-1
...............................
...............................
et Un=1 ou Un=-1
c'est-à-dire, il se peut qu'on trouve par exemple U1=1 ET U2=-1 c'est ça non ?
Amicalement

BJR à Toutes et Tous !!
BJR tarask !!

@ tarask : c'est tout à fait celà et tu as bien saisi l'erreur de LOGIQUE .

Pour la convergence de la suite (Xn)n , celà me parit assez difficile .....
On pourrait le faire à l'aide de la Notion de Suite de CAUCHY mais je crains qu"elle ne soit pas au Programme de BACSM !!

Elle consiste à montrer que :

<< La suite (Xn)n est de CAUCHY >>
et on sait que :
<< Toute suite de CAUCHY de nombres réels est CONVERGENTE et réciproquement >>

Donc , si quelqu'un a une méthode avec vos outils adaptés , je suis preneur bien sûr !!
Sinon , je vous donnerai la mienne simplement à titre de Culture Générale .....

Bonne Journée à Vous !!
et enfin

ODL Vous souhaite un Aid Moubarrak Said

LHASSANE

bonjour

tarask: j'ai commis la même méthode et erreur fatale de logique, par suite mon prof me la rectifier !!

Bison_Fûté a écrit:

Citation :

BSR à Vous !!

Cet exo est loin d'être une évidence ..
L'hypothèse (Un)²=1 pour tout n
n'entraine pas que :
POUR TOUT n , Un=1
OU
POUR TOUT n , Un=-1
comme le pense tarask ...... en fait pour chaque n , Un peut être égal à 1 ou à -1 .

Celà étant , Je vous laisse continuer votre débat !!

Amicalement . LHASSANE

chapeau !

Bonjour Monsieur Lhassane et Fermat-X

Merci d'abord pour vos remarques !!!!
La suite de Cauchy je la connais bien , mais l'utiliser c'est là où ça se complique pour moi
Je sais que si l'on veut montrer que (x_n) est une suite de Cauchy , il faut montrer que
pour tout £ >0, il existe un N de |N tel que : n>= N ==> pour tout k de |N abs(x_(n+k) -x_n)<£ )
on peut pratiquement majorer cette valeur absolue par une autre suite indépendante de k est qui converge par 0 .....
Le problème qui se pose là , c'est que (Un) ne converge pas ça sera un peu difficile ...

Pour ce qui est d'une solution faisant partie du programme , je la chercherai ultérieurement !

@Fermat-X: désolé pour l'erreur , on peut s'attendre à une comme ça après une semaine de DS ...

Gentiment!

salut, l'exo ne demande pas de prouver la convergence de Xn mais celle de Un!!

Bon après-midi Matdonle20
je ne dispose pas du manuel, mais quelle information donne-t-on sur (Xn) alors ?

salam

|Xn| < somme [1/2^k] pour k=0 ......... n

====> |Xn| < 2 - 1/2^n < 2

=====> (Xn) bornée c'est tout ce qu'on peut conclure au niveau bac.

__________________

salut Tarask ,salut tous
bon voila l'énoncé
soit Un)( n ∈ℕ) tel que (Un)²=1
on considere la suite (Xn) (n ∈ℕ) definie par :
Xn = U(0)/1 + U(1)*U(2)/2 + ...+U(0)*U(1)*...U(n)/(2^(n))
1) prouvez que Un est convergente puis (lim Xn)²=4

Matdonle20 a écrit:

salut Tarask ,salut tous
bon voila l'énoncé
soit Un)( n ∈ℕ) tel que (Un)²=1
on considere la suite (Xn) (n ∈ℕ) definie par :
Xn = U(0)/1 + U(1)*U(2)/2 + ...+U(0)*U(1)*...U(n)/(2^(n))
1) prouvez que Un est convergente puis (lim Xn)²=4

cet énoncé est faux !!

Fermat-X a écrit:

Matdonle20 a écrit:

salut Tarask ,salut tous
bon voila l'énoncé
soit Un)( n ∈ℕ) tel que (Un)²=1
on considere la suite (Xn) (n ∈ℕ) definie par :
Xn = U(0)/1 + U(1)*U(2)/2 + ...+U(0)*U(1)*...U(n)/(2^(n))
1) prouvez que Un est convergente puis (lim Xn)²=4

cet énoncé est faux !!

mais qu'est-ce qui vous arrive ????
Personnellement , ce genre de choses m'énerve
En tout cas , bonne chance avec votre exercice .

si il ya une faute c'est dans le livre ,l'énoncé que j'ai écris et le mm dans le livre

salam

(Un)² = 1

En voilà un exemple : Un = (-1)^n

Mais (Un) ne converge pas.

_______________________

Matdonle20 a écrit:

si il ya une faute c'est dans le livre ,l'énoncé que j'ai écris et le mm dans le livre

oui tout à fait d'accord , vous avez écris la même faute du manuel

montrer que Xn convergente pa (Un) !!!!!!!!

Bonsoir
@Monsieur Lhassane : J'aimerai bien voir une solution utilisant la suite de Cauchy
Et merci d'avance

BJR à Vous Toutes et Tous !!
BJR tarask !!

OUI ! Je la donne mais avec des réserves quant à son utilisation .....

Fermat-X a écrit:

soit (Un) une suite tel que |Un|=1 pour tt n de IN
on considère la suite (Xn) définie par:
Xn=((Uo)/1)+((Uo.U_1)/2)+((Uo*U_1...Un)/(2^n))

prouver que (Xn) est convergente

AVERTISSEMENT

Cette démo est donnée à titre de curiosité , elle est Hors-Programme pour les
BACSM . On utilise des résultats de niveau 1ère Année DEUG ou Prépas-Sup ;

Dans IR , une suite (un)n est dite de CAUCHY si elle vérifie la propriété suivante :
Pour tout eps>0 il existe un entier N tel que pour tous p et q entiers p>=q>N alors |up - uq|<eps

et on a l'équivalence (**) suivante :

{ (xn)n suite de réels est CONVERGENTE } <====> { (xn)n est de CAUCHY }



Cette dernière équivalence permet donc d'établir qu'une SUITE de réels est CONVERGENTE
sans devoir connaitre nécessairement sa LIMITE ....Ou , par contraposée , prouver qu'une suite
de réels est DIVERGENTE .

On va introduire la suite (vn)n définie par :
vo=uo et la relation de récurrence v(n+1)=u(n+1).vn pour chaque entier naturel n .
Noter tout de suite que |vn|=1 pour tout entier n .

A l'aide cette suite , on pourra écrire :
Xn=SIGMA{ k=0 à n ; vk/2^k }

Pour p et q entiers tels que p>=q , on a :
Xp - Xq=SIGMA{ k=q+1 à p ; vk/2^k }
puis par l'inégalité triangulaire classique
|Xp - Xq|<= SIGMA{ k=q+1 à p ; 1/2^k }

Si on introduit la suite (Tn)n définie par Tn=SIGMA{ k=0 à n ; 1/2^k } pour chaque entier n
(Tn)n est une suite est CONVERGENTE vers 2
donc est de CAUCHY , il en résulte que
Or
Pour tout eps>0 il existe N entier tel que pour tous p et q entiers p>=q>N alors |Tp - Tq|<eps
|Xp - Xq|<= SIGMA{ k=q+1 à p ; 1/2^k }=Tp-Tq=|Tp - Tq|
donc on aura aussi |Xp - Xq|< eps
Ce qui prouve cette fois que c'est la suite (Xn)n qui est de CAUCHY donc est CONVERGENTE !!!!

Amicalement. LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

BJR à Vous Toutes et Tous !!
BJR tarask !!

OUI ! Je la donne mais avec des réserves quant à son utilisation .....

Fermat-X a écrit:

soit (Un) une suite tel que |Un|=1 pour tt n de IN
on considère la suite (Xn) définie par:
Xn=((Uo)/1)+((Uo.U_1)/2)+((Uo*U_1...Un)/(2^n))

prouver que (Xn) est convergente

AVERTISSEMENT

Cette démo est donnée à titre de curiosité , elle est Hors-Programme pour les
BACSM . On utilise des résultats de niveau 1ère Année DEUG ou Prépas-Sup ;

Dans IR , une suite (un)n est dite de CAUCHY si elle vérifie la propriété suivante :
Pour tout eps>0 il existe un entier N tel que pour tous p et q entiers p>=q>N alors |up - uq|<eps

et on a l'équivalence (**) suivante :

{ (xn)n suite de réels est CONVERGENTE } <====> { (xn)n est de CAUCHY }



Cette dernière équivalence permet donc d'établir qu'une SUITE de réels est CONVERGENTE
sans devoir connaitre nécessairement sa LIMITE ....Ou , par contraposée , prouver qu'une suite
de réels est DIVERGENTE .

On va introduire la suite (vn)n définie par :
vo=uo et la relation de récurrence v(n+1)=u(n+1).vn pour chaque entier naturel n .
Noter tout de suite que |vn|=1 pour tout entier n .

A l'aide cette suite , on pourra écrire :
Xn=SIGMA{ k=0 à n ; vk/2^k }

Pour p et q entiers tels que p>=q , on a :
Xp - Xq=SIGMA{ k=q+1 à p ; vk/2^k }
puis par l'inégalité triangulaire classique
|Xp - Xq|<= SIGMA{ k=q+1 à p ; 1/2^k }

Si on introduit la suite (Tn)n définie par Tn=SIGMA{ k=0 à n ; 1/2^k } pour chaque entier n
Xete suite est CONVERGENTE vers 2
donc est de CAUCHY , il enrésulte que
Or
Pour tout eps>0 il existe N entier tel que pour tous p et q entiers p>=q>N alors |Tp - Tq|<eps
|Xp - Xq|<= SIGMA{ k=q+1 à p ; 1/2^k }=Tp-Tq=|Tp - Tq|
donc on aura aussi |Xp - Xq|< eps
Ce qui prouve cette fois que c'est la suite (Xn)n qui est de CAUCHY donc est CONVERGENTE !!!!

Amicalement. LHASSANE

Merci Monsieur pour la démonstration
Je vais la recopier pour l'examiner et si je trouve un problème je vous ferai signe