exercice 43 page 85 almoufid

jettez y un coup d oeil
merci d 'avance

Oui et cété koi le prob ?

tout l exercice

Dommage $arah !!!
J'aimerai bien te répondre , mais je n'ai pas le Livre cité en référence !!
A+ LHASSANE
PS : si tu pouvais le recopier ( l'exo pas le Livre !!!) ??

BOURBAKI a écrit:

Dommage $arah !!!
J'aimerai bien te répondre , mais je n'ai pas le Livre cité en référence !!
A+ LHASSANE
PS : si tu pouvais le recopier ( l'exo pas le Livre !!!) ??

bon voila l exo:
considerons les deux suite (Un)n£N* et (Vn)n£N* tel que:
Un=1+(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+........+(1/n!) et Vn=Un+(1/n!.n)
1)demontrez que les deux suite sont adjacentes
2)considerons que L EST LA LIMITES DE CES DEUX SUITES
on suppose que L est est rationnel qui s écrit comme L=p/q (p,q)£N*.N*
A- demontrez qu il existe un réel k tel que:L=Up+(k/q!.q) et 0<k<1
B-demonrez que L est une fraction dont le dénominateur est q!
C-deduire que L est irrationnel

PS: pour la premiere question c' est facile je l' ai posté juste pour que l 'enoncé de l'exo soit complet

BSR $arah !!
C'est un classique !
1) {un}n est strictement croissante et {vn}n strictement décroissante ; de plus pour tout n on a un<vn
SANS PROBLEMES pour toi !!!!
2) Les 2 suites étant adjascentes , convergent vers une même limite que tu noteras L
Notes aussi que u0=2<L<v0=3
Il s'agit de montrer que L est IRRATIONNEL , supposons le contraire donc L =p/q avec p et q premiers entre eux et dans IN* tous les deux .
Tu écriras puisque les suites sont adjascentes :
A )) uq < L < vq soit uq < L=p/q < uq+(1/q!.q)
et tu en déduiras que 0 < L-uq < {uq+(1/q!.q)}-uq
soit 0 < L-uq < (1/q!.q)
Il suffira se poser k=(q!.q).(L-uq) alors 0<k<1 et on aura
(k/q!.q)+uq=L ( Il y a une ERREUR dans ton énoncé !! )
B )) QUESTION BIZARRE !!??
C )) On reprend l'encadrement uq < L < vq et on multiplie par
q!.q pour obtenir uq.(q!.q) < L.q!.q < Vq.(q!.q)=uq.(q!.q) +1
Comme uq.(q!.q) est un entier naturel que l'on pourra noter A
et que L.(q!.q)=pq! est aussi un entier alors A < L.(q!.q) < A+1
ce qui est ABSURDE car il n'existe pas d'entier compris strictement entre deux entiers consécutifs !!!
En conclusion L est IRRATIONNEL .

Pour information : L=e=2.718.......
A+ LHASSANE

merci bien monsieur BOURBAKI

BOURBAKI a écrit:

BSR $arah !!
dans ton énoncé !! )
B )) QUESTION BIZARRE !!??



A+ LHASSANE

Pour cette question C L-Up et de denominateur p! et nn pa q!

rockabdel a écrit:

BOURBAKI a écrit:

BSR $arah !!
dans ton énoncé !! )
B )) QUESTION BIZARRE !!??
A+ LHASSANE

Pour cette question C L-Up et de denominateur p! et nn pa q!

Merci rockabdel !!!
Je me disais bien que c'était bizarre !!
On a p!up est un entier naturel ( car pour tout entier k compris entre 1 et (p-1) (p!/k!) est lui-même entier ) d'ou le résultat !!!
D'ailleurs , on utilise ce résultat dans le C )) .
LHASSANE

oui vous avez raison
desolé pour la faute