exo 93 page 44 almoufid (jé trouvé la sollution niveau TSM)

j ai lu la disscution de mr.LHASSANE et des profs sur mathsland sur le sujet de l exercice 93 page 44 de almoufid.
j ai lu qu il ai presque impossible de le resoudre ac des outils de bac SM, mais peut etre que j ai prouvé le contraire , et qu'il y a une sollution ellegante n utilisant que des simples moyens pour dechiffrer cet exo dit coriace.

Enoncé :

soit f une fonction de definie sur [0,1] et g une fonction continue sur [0.1] tel que f+g est une fonction croissante.
montrer que si f(1)<0<f(0) donc f s annule au moins une fois sur [0,1]

Sollution :

posons h(x)=f(x)+g(x)

par absurde supposons que :

quelque soit x de [0,1] f(x)#0

on a donc f(0).f(1)<0 donc f n est pas continue sur [0.1] car sinon par le TVI f doit s annuler sur [0.1]

donc il existe un c € [0,1] telle que f n est pas continue sur c.

donc lim (x--> c-) f(x) >0

et lim(x--> c+) f(x) <0

puisque g est continue en c on a :

lim(x--> c-) f(x)+g(x) > g(c)

et lim(x--> c+) f(x)+g(x) < g(c)

donc lim(c-) h(x) > lim(c+) h(x) (**)

on va maintenant utiliser la croissance de h pr prouver la contradiction :

si x=<c : h(x)=<h(c)

donc lim(c-) h(x) =<h(c)

si x>=c : h(x)>=h(c)

donc lim(c+) h(x)>=h(c)

et donc lim(c+)h(x) >=h(c) >=lim(c-)h(x)

contradiction avec (**)

donc en conclusion le theoreme est juste , donc on a prouvé qu il existe au moins un x_0 de [0.1] tell que f(x_0)=0

j espere que ma sollution est nette et qu il n y a pas d erreur

cepandant je dois ignaler que je n'ai pas aimer cette phrase et je pense qu'elle est fausse
donc il existe un c € [0,1] telle que f n est pas continue sur c.

donc lim (x--> c-) f(x) >0

et lim(x--> c+) f(x) <0

moi j ai eu l idee à partir d un shema .

essay de faire la mm chose , dessine une courbe discontinue en un point c passant par (0,f(0)>0) et (1.f(1)<1) tu vas constater q si c est le point de discontinuité la lim à guache de c sera positif et celle de droite sera negative

memath a écrit:

..........dessine une courbe discontinue en un point c passant par (0,f(0)>0) et (1.f(1)<1) tu vas constater q si c est le point de discontinuité la lim à guache de c sera positif et celle de droite sera negative

mathsformaths a écrit:

cepandant je dois ignaler que je n'ai pas aimer cette phrase et je pense qu'elle est fausse
donc il existe un c € [0,1] telle que f n est pas continue sur c.

donc lim (x--> c-) f(x) >0

et lim(x--> c+) f(x) <0

Pour illustrer ce que tu dis là , prends la fonction :
f : x----------> f(x) de [0;1] dans IR suivante :
f(x)=(1/2)-x , si x<>1/2 et f(1/2)=1
Le point xo=1/2 est un point de discontinuité de f et l'on a :
f( (1/2)+)=f((1/2)-)=0

vous avez raison

enfin j ai essayé !!

BJR à Toutes et Tous !!
BJR memath !!!
N'oublies jamais ceci , c'est le Secret de l'Apprentissage !!
Ce qui est primordial c'est :

Qu'il faut oser sortir des bêtises
Car quand on les sort et qu'on se les fait corriger
On ne les redit plus jamais , jamais plus !!!

bjr a tous j crois qu'il ya quand meme une solution simple a cet exercice. la voici :
on a f+g croissante donc:
0<x<1 implic g(0)+f(0) <g(x)+f(x)<g(1)+f(1)
puisque f(1)<0<f(0) alors g(0)<g(0)+f(0)et g(1)+f(1)<g(1)
on aura donc g(0)<g(x)+f(x)<g(1)
on sait que g est continue sur [0,1] donc [g(0),g(1)] appartient à g([0,1]). Il existe donc un c de ]0,1[ de sorte que g(c)=g(c)+f(c)
en d'autres termes il existe un c de ]0,1[ tel que f(c) = 0
voila.