|cosx-1|<x²/2

y a-t-il une méthode pour montrer |cosx-1|<x²/2 pour tt x de IR sans passer par intégration ?

salam:

par le développement limité de cos a un ordre supérieur a 2 en 0.

tanmirt

Salut,
Je pense qu'il ya une erreur

Fermat-X a écrit:

y a-t-il une méthode pour montrer |cos²x-1|<x²/2 pour tt x de IR sans
passer par intégration ?

BJR à Toutes et Tous !!
BJR Fermat-X !!


On pourrait la réecrire comme celà sin²(x)<x²/2 donc {sin(x)/x}^2 < (1/2)
Et là ce qui me gênerait BEAUCOUP c'est que si je fais tendre x vers 0 alors
sachant que vous connaissez la limite en question , on obtiendrait quelquechose de
pas très beau à savoir 1 < (1/2)

Il y a un Bug dans cet exo !!!

Amicalement . LHASSANE

Bonjour

c'est plutôt: I 1-cosx I <= x²/2 pr tt x£IR

@khamaths et @Bison_Fûté merci pour votre intervention
@Fermat-X
mnt c'est facile de le demontrer en considerant la fonction f et en l'etudiant avec disjonction de cas

khamaths a écrit:

Bonjour

c'est plutôt: I 1-cosx I <= x²/2 pr tt x£IR

BSR khamaths & Aid Moubarrak Said !!

C'est vraisemblablement celà !!
Auquel cas il faudra sans doute utiliser l'identité COS(x)=1 - 2.SIN^2(x/2)
et le problème reviendrait à montrer 2.SIN^2(x/2) =< x^2/2
soit SIN^2(x/2) =< (x/2)^2
et , si l'on pose X=x/2 , |SIN(X)| =< |X| pour tout X dans IR ???

Je les laisse chercher , partant du fait que je n'aime pas gâcher le PLAISIR .

Amicalement . LHASSANE

désolé , c parce que je l'ai écris vite

On peut considérer la fonction f(x)=lcos x - 1l -x²/2 et vérifier si elle est strictement négative sur R. ( Etude de la dérivée )

Pas la peine de compliquer les chose avec la valeur absolue : |cosx-1|=1-cosx et ceci pour tout x.

Oui c'est vrai

Oui c'est evident que 1-cos(x)>0

Bonjour Mr LHASSANE
Bonjur FERMAT-X

Pense au T.A.F pour mq: lsinxl<lxl pr tt x>0 et déduire ...

|sinx|<|x| est déductible également du cercle trigonométrique.

|sinx|<|x| ----> etudier la fonction + disjonction de cas

étudier seulement la fonction x--->sinx-x puis utilise le fait que sin est impaire

f(x)=1-cosx-(x²/2)
f'(x)=sinx-x
f"(x)=cosx-1=<0
alors f' est decroissante.
alors f'(x)=<f(0)=0
ce qui veut dire que: f decroissante elle aussi
alors comme l'autre : f(x)=<f(0)=0
alors |cosx-1|<x²/2 ^^
juste??

tu n'as pas fini Mentalist !!
Faudrai etudier aussi g(x) = cosx-1-(x²/2)
f'(x)=-sinx-x
f''(x)=-cosx-1=<0
donc f' decroissante
donc f'(x)<f'(0)=0
donc f decroissante aussi
alors f(x)<f(0)=0
cosx-1-(x²/2)<0

et puis tu dedui que l9ima motla9a |cox-1|<x²/2