le premier test des oly 2011

C'était un Bon test quand meme.
Exercice 1
CS (en multipliant par a le premier terme ) et par b le 2eme terme ==> il suffit de montrer que a+b>=4 ce qui est facile .
Exercice 2:
AM-Gm ==> x=y=z=t=1
Exercice 3:
f(x)=x²
Exercice 4
Tres dur POur moi !
Donc 3/4 what about vous?

les premiers exos paraissent un peu faciles. j'espère que t'as bien passé le test sporovitch

J'aime pas la Geometrie!!

salut!! je pense que le f(x) dans le troisime exercice doit etre constante,puisque le la valeur max est definie comme constante .
l'exo 1 c'est facil mais j'ai trouvé des difficultés au debit avec.
exo 2 facile.
exo 4: j'ai essaie utiliser la barycentre mais j'ai pas arriveé.

Solution au problème 1 :
.
Or d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

Il suffit donc de montrer que , ce qui est équivalent à :
Or d'après l'IAG : , donc a+b >= 4.
CQFD.

Solution au problème 2 :
Soient x,y,z et t des réels positifs vérifiant le système.
Selon l'IAG : , donc xyzt <= 1.
De plus, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on sait que , donc , et par conséquent xyzt >= 1.
Par suite : xyzt = 1
On a alors :
On tombe donc dans le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Cela nous assure que x=y=z=t.
En reportant dans la première relation du système, il vient x=1, et par suite, x=y=z=t=1.

Solution au problème 3 :
Soit f une fonction vérifiant les conditions de l'énoncé.
On déduit de que pour tout réels x et y, f(x)+f(y)>=2xy.
Pour x=y, il vient alors f(x)>=x², pour tout réel x.
Ensuite, puisque , alors , d'où : .

Par suite : , d'où f(x)=x², pour tout réel x.
Réciproquement, on peut facilement vérifier que la fonction f(x)=x² est satisfaisante.

salut !! klk1 ki peut poster une solution détaillée pour les 2 premiers exos !!

chui en TC et j'ai résolu le 1er exo je l'ai trouvé un peu facile pour eleves du Terminale
c juste une simple application de Cauchy-Schwarz !!!! en-tt-cas je souhaite le meilleure pour tous qui ont déjà passé !!
amicalement

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 1 :
.
Or d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

Il suffit donc de montrer que , ce qui est équivalent à :
Or d'après l'IAG : , donc a+b >= 4.
CQFD.

Solution au problème 2 :
Soient x,y,z et t des réels positifs vérifiant le système.
Selon l'IAG : , donc xyzt <= 1.
De plus, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on sait que , donc , et par conséquent xyzt >= 1.
Par suite : xyzt = 1
On a alors :
On tombe donc dans le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Cela nous assure que x=y=z=t.
En reportant dans la première relation du système, il vient x=1, et par suite, x=y=z=t=1.

le Premier exo meme raisonnement
2eme
x+y+z+t>=4(xyzt)^1/4
x+y+z+t+1/(xyzt) >=5 (1/(x²y²z²t²)^1/5 ==> xyzt=1 ==> x=y=z=t =1

Bonsoir
Je vous rejoins !
Pour moi , c'est comme la plupart !
Le première avec Cauchy-Schwartz comme a fait Dijkschneier , la même méthode !!
Le deuxième , j'ai remarqué que x=y=z=t=1 est une solution , j'ai ensuite montré qu'elle est la seule avec l'absurde (+IAG à savoir j'ai prouvé xyzt>1 , une chose très utile pour ma méthode )
3ème , j'ai fait le même début que celui de Dijkschneier , mais j'ai pas pu finir !
4ème , je le qualifierai de l'exercice le plus difficile de l'épreuve , j'ai essayé de le résoudre en 1h et demi mais en vain ! (je vois pas le rôle que joue le point k !! )
P.S: dans le deuxième exercice , peut-on utiliser la symétrie , j'ai supposé que x>=y>=z>=t
Bonne chance pour le prochain test

Désolé pour le double-post !
Ce Hellenic MC , dutch MC Ukranian MC , ça réfère à quoi au juste ? Les compétitions d'olympiades dans ces pays ou quoi ?

Oui. Malheureusement, le Maroc ne sait que copier les olympiades des autres, et faire des olympiades mal organisées.

Dijkschneier a écrit:

Oui. Malheureusement, le Maroc ne sait que copier les olympiades des autres, et faire des olympiades mal organisées.

Oui ! Ils nous indiquent le nom des compétitions , MAIS POURQUOI ? pour dire qu'ils fournissent des efforts à chercher ? quel malheur
En fait combien vous étiez dans votre ville à participer ? Nous étions 68

tarask a écrit:

Oui ! Ils nous indiquent le nom des compétitions , MAIS POURQUOI ? pour dire qu'ils fournissent des efforts à chercher ? quel malheur

On les a probablement poursuivi par le passé pour des questions de droit d'auteur, alors maintenant ils s'appliquent à citer leurs sources.

tarask a écrit:

En fait combien vous étiez dans votre ville à participer ? Nous étions 68

Un tas nous aussi, en première. Compter 10 élèves par lycée.

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

Oui ! Ils nous indiquent le nom des compétitions , MAIS POURQUOI ? pour dire qu'ils fournissent des efforts à chercher ? quel malheur

On les a probablement poursuivi par le passé pour des questions de droit d'auteur, alors maintenant ils s'appliquent à citer leurs sources.

tarask a écrit:

En fait combien vous étiez dans votre ville à participer ? Nous étions 68

Un tas nous aussi, en première. Compter 10 élèves par lycée.

Ah d'accord
Si quelqu'un pourrait me rassurer à propos de la question que j'ai posée (symétrie)

Oui, tarask, l'expression est symétrique, tu peux mettre un ordre.

Dijkschneier a écrit:

Oui, tarask, l'expression est symétrique, tu peux mettre un ordre.

Merci Dijkschneier pour la réponse

Pendant le Test , pour le dernier exo j'ai trouvé AM/MC=3 . je vais essayer de poster ma démo plus tard .=)
Bon voici ma solution :
- On applique la loi de sin au triangle ALC et ABL pour avoir :
AC/AB=sin<B/sin<C=2
-Dans le triangle AMD on a : tan(<A/2)=DM/AM
-Dans le triangle CMD on a : tan(<MCD)=DM/MC
Et on a : <MCD=<ACD= <ACB+<BCD= <ACB+<BAD= <C+<A/2
donc :

AM/MC = tan ( C+A/2) / tan (A/2) = (sin(C+A/2). cos (A/2 ) )/ (sin(A/2).cos(C+A/2) ) = ( sin(C+A)+sin(C) ) / (sin(C+A) -sin(C))

AM/MC=( sinB+sinC ) / (sinB-sinC ) = 3

Sauf Erreur ..

Oui oui , c'est 3 j'ai pas su le démontré donc j'ai posé le résultats comme ça XD

darkpseudo a écrit:

Oui oui , c'est 3 j'ai pas su le démontré donc j'ai posé le résultats comme ça XD

Ils vont dire que tu n'as pas eu le temps de rédiger et tu as tout simplement écrit le résultat , ainsi ils vont te donner les points complets sur l'exercice hahahaha je rigole

XD et celui qui a rien fait ils vont dire qu'il connaissait les réponses mais qu'il avait la flemme d'écrire ; bon moi j'esper passé au deuxième tour avec mes 2 exos et demi car aujourd'hui c'etait vraiment pas mon jour

bnsoir en voii une solution pour exo 4


dl c'est pas detailé mais c'est seulemnt en gros

darkpseudo a écrit:

XD et celui qui a rien fait ils vont dire qu'il connaissait les réponses mais qu'il avait la flemme d'écrire ; bon moi j'esper passé au deuxième tour avec mes 2 exos et demi car aujourd'hui c'etait vraiment pas mon jour

De même pour moi , surtout que j'avais des maux de tête
Mais ils vont prendre combien ? Je trouve ça très bizarre

Je veux vous présenter une solution sans theorémes de ma part pour le premier ex,
Le deuxiéme semble à notre épreuve xDD c'est justement une application de AM-HM:

(15 min) Solution 1:



(6min) Solution 2:



Desolé pour l'écriture xd