Olympiade 2

Salut,
Je veux le 2eme test d'olympiade si c'est possible svp,Car j'ai pas pu le passe suite a des problemes!

stylo vs calculator a écrit:

Salut,
Je veux le 2eme test d'olympiade si c'est possible svp,Car j'ai pas pu le passe suite a des problemes!

J'aurais voulu le scanner , mais il se trouve que j'ai prêté la feuille à un élève de Première pour jeter un coup d'oeil sur
Sinon , le premier exercice est le deuxième des Première , si j'aurai le temps , je posterai ma solution complète (j'ai introduit deux sommes .... )
Le deuxième une inégalité très simple
a,b et c des réels strictement positifs tels que a+b+c=1
montrer que 9abc=<ab+ac+bc<1/4 +3abc
Une application directe de cauchy-schwartz (côté droit) et schur(gauche)
Le troisième:
Trouver toutes les fonctions f:R-->R vérifiant :
pour tous c et y de R² : xf(x+xy)=xf(x)+f(x²).f(y) (si je me rappelle bien ! )
J'ai trouvé f(x)=x , mais après d'énooormes tentatives (j'ai parachuté des récurrence puis dans Q et j'ai conclu avec la densité de Q dans R) Vous m'excuserez parce que je n'ai pas de temps pour tout rédiger.
Le quatrième: Même géométrie des Premières.

Dommage pour toi

Merci,et oui merde alors je l'ai raté

C'est dommage
Pour les autres , comment vous l'avez passé ?

Ca va, c'était pas mal. Pour le troisième, j'ai trouvé f(x)=x et f(x)=0. Pour, le premier et deuxième facile. Pour le 4ième, quelqu'un l'a fait ?

tarask a écrit:

et j'ai conclu avec la densité de Q dans R

Attention, il y a sûrement un problème ici. La seule façon d'utiliser la densité de Q dans IR dans la résolution d'EF est d'avoir une hypothèse de continuité, de croissance, ou de bornitude.

Merci foxmath sympa de votre part

Dijkschneier a écrit:

tarask a écrit:

et j'ai conclu avec la densité de Q dans R

Attention, il y a sûrement un problème ici. La seule façon d'utiliser la densité de Q dans IR dans la résolution d'EF est d'avoir une hypothèse de continuité, de croissance, ou de bornitude.

j'ai oublié ça
Je vais y penser encore

ami.ga a écrit:

Ca va, c'était pas mal. Pour le troisième, j'ai trouvé f(x)=x et f(x)=0. Pour, le premier et deuxième facile. Pour le 4ième, quelqu'un l'a fait ?

J'ai pas pu finir
C'était à peu près 17:15 quand j'ai commencé la géométrie
Pour le troisième , quelle est ta méthode ? (je crois que c'est l'exercice le plus difficile de l'épreuve)

bn cb vs avez trouvez dans le premier exercice.
le deuxieme ce sont des inegalité que j'en connais aucune
le troisieme je pense f(x)=x
le 4eme meme po lu

Solution au problème 1 :
Voir ici : https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/deuxieme-olympiade-de-premiere-3-decembre-2010-t17151.htm

Solution au problème 2 :
Soient p,q et r les quantités habituelles.
On a d'après l'inégalité de Schur pour t=0 et t=1 que :
pq - 9r >= 0
p^3 - 4pq + 9r >= 0
Etant donné que p = 1 d'après la condition de l'énoncé, il vient :
9r <= q <= 1/4 + 9r/4 < 1/4 + 3r
CQFD.

Solution au problème 3 :
Pour x=y=0, il vient f(0)=0.
Pour y=-1, il vient xf(x)+f(x²)f(-1)=0 (*)
Pour x=-1 dans (*), il vient f(-1)[f(1)-1]=0.
- Si f(-1) = 0
Alors (*) => xf(x)=0
=> f(x)=0 pour tout réel non nul x
=> f(x)=0 pur tout réel (car f(0)=0)
Inversement, la fonction nulle est bien une solution à l'EF.
- Si f(-1) est non nul
Alors f(1) = 1
Pour x=1 dans (*), il vient f(1)[f(-1)+1]=0
=> f(-1)=-1
(*) => xf(x) = f(x²)
L'équation fonctionnelle devient : xf(x+xy) = xf(x) + xf(x)f(y)
<=> f(x+xy) = f(x)[1+f(y)] pour tout réel x non nul
Pour y=x-1, il vient alors que f(x²) = f(x)[1+f(x-1)]
=> xf(x) = f(x)[1+f(x-1)]
=> x = 1 + f(x-1)
=> f(x-1) = x-1, pour tout réel x non nul
=> f(x) = x, pour tout réel x différent de -1
=> f(x)=x pour tout réel x (car f(-1)=-1)
Inversement, cette fonction vérifie l'EF.
Synthèse :
Les solutions de l'EF sont la fonction nulle et l'identité sur IR.

Solution au problème 4 :
Voir un schéma de preuve ici : https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/deuxieme-olympiade-de-premiere-3-decembre-2010-t17151-30.htm

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 3 :
Pour x=y=0, il vient f(0)=0.
Pour y=-1, il vient xf(x)+f(x²)f(-1)=0 (*)
Pour x=-1 dans (*), il vient f(-1)[f(1)-1]=0.
- Si f(-1) = 0
Alors (*) => xf(x)=0
=> f(x)=0 pour tout réel non nul x
=> f(x)=0 pur tout réel (car f(0)=0)
Inversement, la fonction nulle est bien une solution à l'EF.
- Si f(-1) est non nul
Alors f(1) = 1
Pour x=1 dans (*), il vient f(1)[f(-1)+1]=0
=> f(-1)=-1
(*) => xf(x) = f(x²)
L'équation fonctionnelle devient : xf(x+xy) = xf(x) + xf(x)f(y)
<=> f(x+xy) = f(x)[1+f(y)] pour tout réel x non nul
Pour y=x-1, il vient alors que f(x²) = f(x)[1+f(x-1)]
=> xf(x) = f(x)[1+f(x-1)]
=> x = 1 + f(x-1)
=> f(x-1) = x-1, pour tout réel x non nul
=> f(x) = x, pour tout réel x différent de -1
=> f(x)=x pour tout réel x (car f(-1)=-1)
Inversement, cette fonction vérifie l'EF.
Synthèse :
Les solutions de l'EF sont la fonction nulle et l'identité sur IR.

Parfait ! 0 fautes

bonsoir tout le monde, bon de ma part j'ai fait le premier assez facile quand meme
le deuxième la première ineg avec Chebyshev et la seconde avec shur
le troisième exercice j'ai bluffé et j'ai mis f(x) = x
pathétique mais bon !!
au fait, j'ai été étonné de voir que quelques candidats n'ont eus aucun scrupule a copier ce que d'autres on fait. Les marocains ne changeront jamais !!
bon, j'ai tout signalé sur ma feuille !! (chui pas une balance mais quand même )
bonsoir et bonne chance a tous pour la prochaine épreuve !!

tarask a écrit:

(je crois que c'est l'exercice le plus difficile de l'épreuve)

Oui t'as raison, moi aussi je l'ai trouvé difficile. J'ai résolu le 1er et j'ai montré juste le demi du dexième. Et pour le dernier j'ai pas pu le terminé à cause du temps.

svp qqn pourrait it donner les reponses? pour 1 et 2 et 4

aimar15 a écrit:

svp qqn pourrait it donner les reponses? pour 1 et 2 et 4

Pour le premier voilà ma solution :

P.S: j'ai détaillé dans ma feuille haha
en fait pour S_1 j'ai utilisé le fait que pour tout n de N* 1+2+.....+n=n(n+1)/2 !

@Tarask, voilà pour le troisième :
Moi, ma méthode diffère un peu de celle de Dijkschneier, mais c'est la meme démarche.

Considérons : P(x;y) : xf(x+xy)=xf(x)+f(x²).f(y)

P(0;0) ===> f(0)=0
p(1;-1) ===> f(0)=f(1)+f(1).f(-1)
===> 0 = f(1)+f(1).f(-1)

Je pose f(1)=a
===> 0=a+af(-1)


Il y'a deux cas :


Si a est différent de 0 :

===> f(-1)=-1

On a P(x;-1) ===> xf(x-x)=xf(x)+f(x²).f(-1)
===> 0=xf(x)-f(x²)
===> xf(x)=f(x²)

Pour x=-1, on obtient alors f(1)=1


P(1;x) ===> f(1+x)=f(1) + f(1).f(x)
===> f(x+1)-f(x)=1

Donc f est linéaire, posons f(x)= Ax+B,
puisque f(0)=0 ===> B=0
f(1)=1===> A=1

Donc f(x)=x

Si a = 0:

P(1;x-1) ===> f(1+(x-1))= f(1)+f(1)f(x-1)
===> f(x)=0

Conclusion:

f(x)=x ou f(x)=0

phenix a écrit:

bonsoir tout le monde, bon de ma part j'ai fait le premier assez facile quand meme
le deuxième la première ineg avec Chebyshev et la seconde avec shur
le troisième exercice j'ai bluffé et j'ai mis f(x) = x
pathétique mais bon !!
au fait, j'ai été étonné de voir que quelques candidats n'ont eus aucun scrupule a copier ce que d'autres on fait. Les marocains ne changeront jamais !!
bon, j'ai tout signalé sur ma feuille !! (chui pas une balance mais quand même )
bonsoir et bonne chance a tous pour la prochaine épreuve !!

Rouge : quel courage !
Vert : comment ?
pour ce qui est d'à droite d'après schur pour t=1 et a+b+c=1
ab+ac+bc<(1+9abc)/4 qui est un peu plus forte (j'avais vu cette inégalité dans un pdf , je me rappelle plus ...)

ami.ga a écrit:

@Tarask, voilà pour le troisième :
Moi, ma méthode diffère un peu de celle de Dijkschneier, mais c'est la meme démarche.

Considérons : P(x;y) : xf(x+xy)=xf(x)+f(x²).f(y)

P(0;0) ===> f(0)=0
p(1;-1) ===> f(0)=f(1)+f(1).f(-1)
===> 0 = f(1)+f(1).f(-1)

Je pose f(1)=a
===> 0=a+af(-1)


Il y'a deux cas :


Si a est différent de 0 :

===> f(-1)=-1

On a P(x;-1) ===> xf(x-x)=xf(x)+f(x²).f(-1)
===> 0=xf(x)-f(x²)
===> xf(x)=f(x²)

Pour x=-1, on obtient alors f(1)=1


P(1;x) ===> f(1+x)=f(1) + f(1).f(x)
===> f(x+1)-f(x)=1

Donc f est linéaire, posons f(x)= Ax+B,
puisque f(0)=0 ===> B=0
f(1)=1===> A=1

Donc f(x)=x

Si a = 0:

P(1;x-1) ===> f(1+(x-1))= f(1)+f(1)f(x-1)
===> f(x)=0

Conclusion:

f(x)=x ou f(x)=0

J'ai vu les grandes lignes
ça a l'air d'être correct
oui stylo vs calculator
Je me souviens des paroles de Dijkschneier : préparez vos calculettes...

bonsoir à tous ;
ça fait un bout de temps que j'ai pas mis le pas sur le forum .. j'espere quand mm un bon retour
à propos des olympiades :
*1er exercice : facile (application normale de la leçon des suites en première )
*2éme exercice : je me suis servis ni de caushy ni de schur . j'ai remplacé c par sa valeur en fonction de a et b. après pour montrer les 2 inégalités il suffit par de simple équivalence de montrer qu'un polynôme de 2éme degré , où g considéré que "a" est le variable , superieur à 0 . facile après calcule de la première derivée .
*3éme exercice : g suivi la mm démarche de Dijkschneier pour montrer que f(x)=0 est une solution de l'equation fonctionnelle , et avec à peu près les mm calcules pour f(x)=x .
*4éme exercice : je lui ai pas donnée bcp de temps ...
voilà . et bonne chance à tt le monde

Bonsoir
1- facile .
2- Cheby et réordonnement .
3- f(x) = 0 est une solution après être arrivé a f(1-x) = 1+f(-x) et ayant f(1) = 1 et f(0) = 0 j'ai directement conclu que f(x) = x et f(x) = 0 étaient les seuls solutions ( trop de précipitations)
4- S = 2/27 pour proceder , j'ai dessiné la parallèle à (AP) passant par M ensuite montrer que deux triangles sont semblable puis deux fois formule de thalès et en utilisant la formule classique de l'air d'un triangle ( j'était tellement chamboulé que je l'est appelé formule de héron ) on y arrive assez trivialement .
Bon si je passe pas avec 6 exos sur 8 c'est que j'ai vraiment foiré quelque part , en tout cas bonne chance ) tout le monde

darkpseudo a écrit:

Bonsoir
1- facile .
2- Cheby et réordonnement .
3- f(x) = 0 est une solution après être arrivé a f(1-x) = 1+f(-x) et ayant f(1) = 1 et f(0) = 0 j'ai directement conclu que f(x) = x et f(x) = 0 étaient les seuls solutions ( trop de précipitations)
4- S = 2/27 pour proceder , j'ai dessiné la parallèle à (AP) passant par M ensuite montrer que deux triangles sont semblable puis deux fois formule de thalès et en utilisant la formule classique de l'air d'un triangle ( j'était tellement chamboulé que je l'est appelé formule de héron ) on y arrive assez trivialement .
Bon si je passe pas avec 6 exos sur 8 c'est que j'ai vraiment foiré quelque part , en tout cas bonne chance ) tout le monde

Ne crois-tu pas que ces précipitations coutent cher , je veux dire , sont-ils prêts à donner des notes sur la moitié des réponses ?? je me pose toujours cette question

aimar15 a écrit:

svp qqn pourrait it donner les reponses? pour 1 et 2 et 4

la réponse de 4 est dans cette page: https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/deuxieme-olympiade-de-premiere-3-decembre-2010-t17151-30.htm

pour l'exo2 (méthode classique)
il faut montrer que (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9
[x+1/x>=2]
qui donne ab+bc+ac>=9abc pour l'autre il a besoin trop de calcul
pour l'exo 4

je trouve que S(adn)=1/9 j'ai appliquer seulement thales

bonjour
vous avez de la chance moi j ai pas pu participer cette annee mais bon...
l'équation fonctionnelle est assez facile en effet il est facile de prouver que f(x²)+xf(x) puis on a: f(x+xy)=(f(x)+f(y+1))/f(1) donc f(y+1+y(y+1))=(f(y+1)²)/f(1) donc (y+1)f(y+1)=f(y+1)²/f(1) d'ou f(y+1)=(y+1)f(1) [bien sur on a verifier le cas si f(1)=0 qui nous conduit a la fonction nulle réciproquement la fonction nulle et l identité sont solutions]

..l'inégalite est vrm trivial (lkhochaybat).
pour l exo 1 on vois facilement que 5 joue un role qq part donc on trouve:
S+4+(4+5)+(4+5*2)+...+(4+5*401)+(5)+(5*2)+(5*3)+.....+(5*402)=(1+2+3)+(1+2+3+5*3)+(1+2+3+5*3*2)+....+(1+2+3+5*3*401)
CAD ----> S+4*402+5(1+2+...+401)+5(1+2+....+402)=402(1+2+3)++5*3(1+2+.....+401)
....c'est simple de continuer
pour la géométrie j'ai pas essayer car je vais pas trouver...