Fonctions périodiques admettant des limites en l'infini

Bonjour.
J'aimerais simplement partager un résultat qui me semble utile quelque fois:
Soit f une fonction numérique (définie sur IR et à valeurs dans IR) périodique. Montrer que si f admet une limite aux bornes de IR (+l'infini ou -l'infini), alors f est constante.
Cela sert, je crois, par exemple, à montrer que la fonction sinus par exemple, n'admet pas de limite aux bornes de IR, car elle est périodique et non constante.
J'attends éventuellement des propositions de démonstrations.

Proposition de démonstration:
Soit f une fonction périodique,définie sur R, montrons alors que:

f Non constante==> f n'admet pas de limite aux bornes de R.

f non constante==> Il existe au moins un a et b de R tel que, f(a) =/ f(b)
Considérons les deux suites (U_n) et (V_n), tel que , U_n= a+nT et V_n=b+nT
On a lim(U_n)=lim(V_n)= +(l'infini) et f(V_n)=f(b) et f(U_n)=f(a)

Supposons mnt que f admet une limite en (+l'infini) égale à L
Donc limf(V_n)=limf(U_n)=L
==> f(a)=f(b)
Contradiction
Pour -l'infini, on procède de la meme manière en posant V_n=b-nT et U_n=a-nT

Oui. Bien.

est ce que
lim(f(x))=lim(g(x))=L ==> f(x)=g(x) !!!


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ayoubmath (Mer 15 Déc 2010, 15:21) a écrit:

est ce que
lim(f(x))=lim(g(x))=L ==> f(x)=g(x) !!!


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Non.

ayoubmath (Mer 15 Déc 2010, 18:21) a écrit:

est ce que
lim(f(x))=lim(g(x))=L ==> f(x)=g(x) !!!


.

soukki a écrit Donc limf(V_n)=limf(U_n)=L
==> f(a)=f(b)
car f(V_n)=f(b) et f(U_n)=f(a) car f est une fonction périodique de période T, c tout à fait juste!

Ce que j'ai écrit est tout autre ,je m'explique:
On a lim f(V_n)=limf(U_n)
==>lim(f(a))=lim(f(b))
La variable n n'est plus présente, f(a) et f(b) sont des valeur indépendant de toute variable
donc f(a)= f(b)

oh oui
merci

Merci à Dijkschneier pour le sujet interessant!