Récurrence et carré parfait:

Comment démontrer, par récurrence, que:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=p² ? (n£IN et p² est un carré parfait)

salam:

par récurrence :

pour n=0 on a 1=1^2 ==> p=1£IN vraie pour n=0.

maintenant il faut supposé que la propriété est vraie au rang n c'est a dire que n(n+1)


(n+2)(n+3)+1=p² est vraie.


puis montrer que c'est vraie au rang n+1: ie (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=k² ou k£IN k>p


tanmirt

Oui, merci pour la réponse, mais en fait, dans ma démarche pour prouver que (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=k² est vraie, je suis arrivée à ceci:

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1= [(p²-1)/n] (n+4)+1
= [(p-1)(p+1)(n+4) /n] +1

Mais ensuite, je ne sais quelle voie suivre pour prouver que ça égale à k²...

je croix que c'est (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=p^2+4(p^2-1)/n.?!!!

Oui, c'est cela... mais en fait, je ne sais plus trop quoi faire après... merci d'avance...

salam

du calme ...du calme.....

voyons les choses de plus près

n=0 ---------------> 1² = (p1)²
n=1 ---------------> 5² = (p2)²
n=2 ---------------> 11² = (p3)²
n=3 ---------------> 19² = (p4)²

etc......

on peut conjecturer la remarque : P(n+1) = Pn + 2(n+1)

Par itération ====> Pn = 1+2[2+3+4+.....+n] = 1+(n+2)(n-1) = n²+n-1

Donc il suffit de Comparer :

n(n+1)(n+2)(n+3) +1

et

P(n+1)²= (n²+3n+1)²

_____________________________________________________________

mariya a écrit:

Comment démontrer, par récurrence, que:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=p² ? (n£IN et p² est un carré parfait)

BSR mariya !!!

Considérons le polynôme à ncoefficients dans IR suivant :
P(X)=X.(X+1).(X+2).(X+3) + 1
Il s'écrit tous calculs faits :
P(X)=X^4 + 6.X^3 + 11.X^2 + 6.X + 1
et on constate que X^4.P(1/X)=P(X)
ce qui est le symptôme des Polynômes dits SYMETRIQUES ....
On fait le changement d'indéterminée Z=X+(1/X)
Après des Calculs Bêtes et Méchants , on trouve une écriture
très simplifiée de P(x) à savoir :
P(X)=X^2.{Z^2 + 6.Z + 9}=X^2.{Z+3}^2

Après avoir vérifié que O n'est pas racine de P(X) alors pour trouver les racines
de P(X) il suffira de résoudre l'équation Z=-3
soit X^2 +3.X +1=0 qui donnera deux racines x1= (1/2).(-3+rac(5)) et x2=(1/2).(-3+rac(5))
Les racines x1 et x2=1/x1 sont racines DOUBLES de P(X) et
P(X)={(X-x1).(X-x2)}^2
soit P(X)={X^2 + 3.X + 1}^2

MAINTENANT , il faut se rendre compte à l'évidence que : pour tout entier naturel n , on a
bine P(n)=n.(n+1).(n+2).(n+3) + 1= p^2
avec p=n^2+3.n+1

Evidemment , celà ne répond pas tout à fait à ta Question en terme de Méthodologie ( puisque tu demandes une Démo par Récurrence sur n ..... )
MAIS celà vous apporte un AUTRE ECLAIRAGE à la question .

Amicalement. LHASSANE

Merci à tous pour vos réponses, mais en fait, en fait, je n'ai pas trop bien saisi la réponse avec le principe de la récurrence... :s

BSR mariya !!

Tu as quelquepart raison ....
Parce qu'en fait dès qu'on a montré que P(X)={X^2 + 3.X + 1}^2
alors c'est terminé et le RAISONNEMENT par RECURRENCE est réellement INAPPROPRIE dans ce cas !!!
Mais tout celà est du TRAVAIL en AMONT .....

Le Concepteur de l'exercice a trouvé " P(X)={X^2 + 3.X + 1}^2 " et s'est dit la chose suivante :
" Et si je leur demandais de démontrer que P(n) est un CARRE PARFAIT pour tout n MAIS par récurrence ?? " SANS TROP REFLECHIR ........

Amicalement . LHASSANE

Voici une solution plus détaillée:
Posons
Donc on résoud l'equation
Donc
Donc
L'astuce consiste ici à noter que les deux termes du membre de droite différent de 2, différence que nous pouvons retrouver dans le membre de gauche si nous écrivons: et
On en déduit donc
Et le tour est joué!
Ecrivons
Et par identificatin terme à terme, nous obtenons a=3 et b=1
Donc

donc vous voulez dire que:
x(x+3)=x²+3x+1-1 et (x+1)(x+2)=x²+3x+1+1
donc puisqu on a x(x+1)(x+2)(x+3)=(x²+3x+1-1)(x²+3x+1+1)
alors x(x+1)(x+2)(x+3)=(x²+3x+1)²-1
et ainsi : x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x²+3x+1)²

mais moi je voudrais celle de la recurrence
et merci

dsl est ce que quelqu un peut m'expliquer cette suggestion??

voyons les choses de plus près

n=0 ---------------> 1² = (p1)²
n=1 ---------------> 5² = (p2)²
n=2 ---------------> 11² = (p3)²
n=3 ---------------> 19² = (p4)²

etc......

on peut conjecturer la remarque : P(n+1) = Pn + 2(n+1)

Par itération ====> Pn = 1+2[2+3+4+.....+n] = 1+(n+2)(n-1) = n²+n-1

Donc il suffit de Comparer :

n(n+1)(n+2)(n+3) +1

et

P(n+1)²= (n²+3n+1)²
et merci

n(n+3) = n²+3n

(n+1)(n+2) = n²+3n +2 = n(n+3)+2

n(n+3).(n(n+3)+2) = n(n+3)²+2(n(n+3))

n(n+3).(n(n+3)+2)+1 = n(n+3)²+2(n(n+3))+1 = (n(n+3)+1)²

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n(n+3)+1)²

==>  n(n+1)(n+2)(n+3)+1  est un carré parfait

mariya a écrit:

Comment démontrer, par récurrence, que:

                    n(n+1)(n+2)(n+3)+1=p²  ?   (n£IN et p² est un carré parfait)

montrons par récurrence sur n que pour tout n de N,
u_n= n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carré parfait.

u_0=1  est un carré parfait
u_1=25 est un carré parfait

supposons que u_n est un carré parfait pour un certain n :
u_n=p² et montrons que u_(n+1) est un carré parfait

u_n=p²  ==> p=n²+3n+1  déjà fait
==> 4p+5=4n²+12n+9
==>4p+5=(2n+3)²
==> V(4p+5)-3=2n  on a alors n en fonction de p

u_(n+1)= (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1
=n(n+1)(n+2)(n+3)+4(n+1)(n+2)(n+3)+1
=p²+4(n+1)(n+2)(n+3)
=p²+4(p²-1)/n
=p²+8(p²-1)/(V(4p+5)-3)
=p²+2(p²-1)(V(4p+5)+3)/(p-1)
=p²+2(p+1)(V(4p+5)+3)
=p²+2pV(4p+5)+6p+2V(4p+5)+6
=[p+V(4p+5) +1]²

En d'autres termes si u_n=p_n²  ==> 4p_n+5 est un carré parfait et u_(n+1)=p_(n+1)² avec p_(n+1)=p_n+V(4p_n+5) +1