carré parfait

prouver que si la diférence de deux cubes et n²,alors 2n+1 est un carré parfait.(n appartient à IN)

(a²)^3=(a^3)² mais 2a^3+1 n'est pas toujours un carré parfait

prendre a=1

oui Monsieur ATTIOUI,vous avez raison mais je pense qu'il veux dire la différence de deux cubes consécutifs,j'ai éssayer avec des petites valeurs et j'ai trouver que 2n+1 est bien un carré parfait.

Bon je commence la démonstration qui n'est pas achevé mais j'ai pas trop le temps.

Soit a un entier vérifiant les conditions du problème. Il existe donc un entier n tel que :

(a+1)^3-a^3 = n² ie 3a²+3a +(1-n²) =0

Ainsi, a est une solution entière de cette équation du second dergé. On sait que la racine carré d'un nombre entier a est soit un irrationnel soit un entier si a est un carré parfait. Ainsi, si l'équation admet une solution entière, il faut que le discriminant soit un carré parfait :

3(2n+1)(2n-1) = d² (d est le discriminant un entier)

Bon, on voit déjà ici que dans les deux nombres consécutifs impairs 2n+1 et 2n-1, au moins l'un des deux est un multiple de 3
ce qui montre que le carré du discriminant est un multiple de 9 permettant d'obtenir alors des solutions entières.

Sinon je pense qu'on est proche de la fin de l'exercice vu la condition.

boukharfane radouane a écrit:

Citation :

oui Monsieur ATTIOUI,vous avez raison mais je pense qu'il veux dire la différence de deux cubes consécutifs,j'ai éssayer avec des petites valeurs et j'ai trouver que 2n+1 est bien un carré parfait.

oui c'est la différence de deux cubes consécutifs.

on a n²=(a+1)^3 -a^3=3a²+3a+1
=>4n²-1=3(2a+1)²=(2n+1)(2n-1)
2n+1 et 2n-1 sont premier entre eux , alors pr affirmer le resultat il suffit de montrer que 3 ne peut deviser 2n+1 ..;

Je pense que l'énoncé est faux. On prend a=2. On a :

3^3-2^3 = 1 = 1² et pourtant 2.1+1 = 3 n'est pas un carré parfait.

On peut seulement dire que : soit 2n-1 soit 2n+1 est un carré parfait.

hmmmm 3^3-2^3=27-8!!!!!!!!!

Il était tard dsl j'ai fais 3²-2^3