Diophantienne.

Je vous propose cette équation diophantienne : résoudre dans N² :

C'est très facile!

Edité

darkpseudo a écrit:

x^3-xy-y^3=61 <==> x(x^2-y-y^3/x)=61
vu que x est un entier et que x^2 et y le sont aussi donc x divise y^3
ainsi x est entier et x^2-y-y^3/x l'est aussi
donc x divise 61 or 61 est un premier donc x=1
Si on fait le même travail avec y on trouvera y=1
or 1,1 n'étant pas une solution , cette équation n'as pas de solution entière

je crois pas que ça soit vrai .......

En effet tu as raison dsl

C'est pas grave du tout , l'important c'est que tu as consacré un temps avec
indice :

Spoiler:

P.S: il se peut qu'il y a une autre méthode que la mienne (que j'ai pas terminé à cause du calcul)

tarask a écrit:

Je vous propose cette équation diophantienne : résoudre dans N² :

C'est très facile!

On suppose que |x-y|>1
1cas: y>x
donc (y-x)(x²+y²+xy)+xy=-61>(x+y)² absurde
si x>y on aura
(x-y)(x²+y²+xy)-xy=61>x²+y²
donc x=<7
on vérifie les cas x=7,y=4,2,0
x=6,y=3,1
x=5,y=2,0
x=4,y=1
x=3,y=0 ce ne sont pas des solutions.
car x et y n'ont pas la meme parité et x>y+1
donc
il reste le cas ou x-y=1
ce qui donne x²+y²=61
==> x=6,y=5
sauf erreur.

Sporovitch a écrit:

tarask a écrit:

Je vous propose cette équation diophantienne : résoudre dans N² :

C'est très facile!

On suppose que |x-y|>1
1cas: y>x
donc (y-x)(x²+y²+xy)+xy=-61>(x+y)² absurde
si x>y on aura
(x-y)(x²+y²+xy)-xy=61>x²+y²
donc x=<7
on vérifie les cas x=7,y=4,2,0
x=6,y=3,1
x=5,y=2,0
x=4,y=1
x=3,y=0 ce ne sont pas des solutions.
car x et y n'ont pas la meme parité et x>y+1
donc
il reste le cas ou x-y=1
ce qui donne x²+y²=61
==> x=6,y=5
sauf erreur.

Bonsoir sporovitch !
c'est bien ça la méthode dont je parlais ! mais j'ai une toute petite question, pourquoi ? x²+y²=61==> x=6,y=5 , tu t'es servi du cercle de centre (0,0) et de rayon sqrt(61) ?

Je pense que c'est parce que tout nombre premier peux s'écrire comme la somme de deux carré et puis il suffit de tâtonner un peu

darkpseudo a écrit:

Je pense que c'est parce que tout nombre premier peux s'écrire comme la somme de deux carré et puis il suffit de tâtonner un peu

Désolé de te contredire mais ce que tu avances semble être faux , prendre 7=? . Je crois que tu voulais parler de la conjecture de Goldbach : tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers non ? ou bien tu l'as mélangé avec le théorème des deux carrés de Fermat .
Sinon , pour le fait de tâtonner , je suis d'accord avec toi , mais qui te garanties l'unicité de ce couple ?
Gentiment et sauf erreur de ma part

anas-az_137 a écrit:

tarask a écrit:

Spoiler:

Bonsoir sporovitch !
c'est bien ça la méthode dont je parlais ! mais j'ai une toute petite question, pourquoi ? x²+y²=61==> x=6,y=5 , tu t'es servi du cercle de centre (0,0) et de rayon sqrt(61) ?

Spoiler:

Bonjour !
oui , maintenant c'est clair , j'ai oublié le fait que x-y=1. En fait , par symétrie on a aussi x=5 et y=6

tarask a écrit:

Spoiler:

Bonjour !
oui , maintenant c'est clair , j'ai oublié le fait que x-y=1. En fait , par symétrie on a aussi x=5 et y=6

No , -91 # 91

anas-az_137 a écrit:

tarask a écrit:

Spoiler:

Bonjour !
oui , maintenant c'est clair , j'ai oublié le fait que x-y=1. En fait , par symétrie on a aussi x=5 et y=6

No , -91 # 91

oui , je viens de vérifier désolé !

Bonjour
Moi j'avais fait comme anas-az-137
sinn on peu le résoudre facilement meme si on avait pas x=y+1
car x²+y²=61 ==> x²<61 et y²<61==> x=<7 et y=<7
si x<5 et y<5 on aura x²+y²<50
donc 5=<x=<7 ou 5=<y=<7 le reste est facile. Il suffira de vérifier 3 cas parceque x et y joue un role symetrique dans l'équation en gras. et pas un role symetrique dans l'équation de départ.

tarask a écrit:

darkpseudo a écrit:

Je pense que c'est parce que tout nombre premier peux s'écrire comme la somme de deux carré et puis il suffit de tâtonner un peu

Désolé de te contredire mais ce que tu avances semble être faux , prendre 7=? . Je crois que tu voulais parler de la conjecture de Goldbach : tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers non ? ou bien tu l'as mélangé avec le théorème des deux carrés de Fermat .
Sinon , pour le fait de tâtonner , je suis d'accord avec toi , mais qui te garanties l'unicité de ce couple ?
Gentiment et sauf erreur de ma part

Mauvaise interpretation d'un triplet phytagoricien en fait ; ( c'est moi ou ce topic me porte malheur ) XD
Bonne journée