Eq.diophantienne

Résoudre en N 2^a+3^b=5^c

bonsoir
b=/=0 et c=/= 0
2^a=2^c [3] ==> a=c [2]
2^a+3^b =0[5] ==> 2^a =2^c [5] ==> a=c [4]
cas 1: a b et c sont pairs
(2^x)^2 =(3^y)^2=(5^z)^2 triplets pythagoriciens
clairement 2^x =2mn
3^y=m^2 -n^2
5^z=m^2 +n^2
m et n etant de paritee differente on a forcement n=1 , donc 2^(x-1)=m ou encore 3^y=2^(2x-2)-1
et 5^z=2^(2x-2)+1
par Zsigmondy on a 2x-2 <=3  , x= 1 ou 2
x=2 donne a=4 b=c=2
x=1 donne

pour cas a b et c impaires
2.(2^x)^2 +3(3^y)^2 =5.(5^z)^2
ou encore
2 (2^x -5^z)(2^x +5^z) =3 (5^z-3^y)(5^z+3^y)
RHS est clairement divisible par 4 ,donc (2^x -5^z)(2^x +5^z) est divisible par 2 , ce qui conduit a x=0 , donc
de 2 (1 -5^z)(1 +5^z) =3 (5^z-3^y)(5^z+3^y) on a
z=0 ==> a=b=c=1
si z=/=0
(5^z+3^y) > (1 +5^z)
pour eviter la contradiction on a forcement
2(1 -5^z) >= 3 (5^z-3^y) > 2 (5^z-3^y)
1-5^x >5^z -3^y
3^y >2. 5^z -1
5.(5^2z)=2+ 3.(3^y)^2 > 2+ 3(2. 5^z -1)^2 =2+ 12.(5^2z) -6.(5^z) +3 ou encore
7.(5^2z) -6.5^z +5 <0
en posant 5^z =t
7.t^2 -6t+5 <0 ce qui est impossible.

c=0 clairement impossible
b=0 :
2^a +1 =5^c
ce qui par zsigmondy exige que a=6 ou a <=3
2^a +1 =2^c [3]
il est clair que a=0 [2] donc a=6 qui n est pas une solution , a=2 qui donne a=2 b=0 c=1 et a=0 qui n est pas une solution

les solutions sont donc a=4 b=c=2
a=b=c=1
a=2 b=0 c=1
sauf erreur

elidrissi a écrit:

bonsoir
b=/=0 et c=/= 0
2^a=2^c [3] ==> a=c [2]
2^a+3^b =0[5] ==> 2^a =2^c [5] ==> a=c [4]
cas 1: a b et c sont pairs
(2^x)^2 =(3^y)^2=(5^z)^2 triplets pythagoriciens
clairement 2^x =2mn
3^y=m^2 -n^2
5^z=m^2 +n^2
m et n etant de paritee differente on a forcement n=1 , donc 2^(x-1)=m ou encore 3^y=2^(2x-2)-1
et 5^z=2^(2x-2)+1
par Zsigmondy on a 2x-2 <=3  , x= 1 ou 2
x=2  donne a=4 b=c=2
x=1 donne

pour cas a b et c impaires
2.(2^x)^2 +3(3^y)^2 =5.(5^z)^2
ou encore
2 (2^x -5^z)(2^x +5^z) =3 (5^z-3^y)(5^z+3^y)
RHS est clairement divisible par 4 ,donc (2^x -5^z)(2^x +5^z) est divisible par 2 , ce qui conduit a x=0 , donc
de 2 (1 -5^z)(1 +5^z) =3 (5^z-3^y)(5^z+3^y) on a
z=0 ==> a=b=c=1
si z=/=0
(5^z+3^y) > (1 +5^z)
pour eviter la contradiction on a forcement
2(1 -5^z) >= 3 (5^z-3^y) > 2 (5^z-3^y)
1-5^x >5^z -3^y
3^y >2. 5^z -1
5.(5^2z)=2+ 3.(3^y)^2 > 2+ 3(2. 5^z -1)^2 =2+ 12.(5^2z) -6.(5^z) +3 ou encore
7.(5^2z) -6.5^z +5 <0
en posant 5^z =t
7.t^2 -6t+5 <0 ce qui est impossible.

c=0 clairement impossible
b=0 :
2^a +1 =5^c
ce qui par zsigmondy exige que a=6 ou a <=3
2^a +1 =2^c [3]
il est clair que a=0 [2] donc a=6 qui n est pas une solution , a=2 qui donne a=2 b=0 c=1 et a=0 qui n est pas une solution

les solutions sont donc a=4 b=c=2
a=b=c=1
a=2 b=0 c=1
sauf erreur

Je n'ai pas lu toute la preuve, mais j'ai fait les remarques suivantes:
Pour ce qui est en rouge, je ne vois pas comment tu as fait pour t'en sortir...
Pour ce qui est en vert, je vois qu'il reste encore beaucoup de cas à traiter...

pour les cas restant je ne vois pas de uoi il pourrait s'agir. merci de m'écclairer

pour la premiere remarque , vous avez raison :
on peut a la place :
a=1 [5] 2^a =2 [5]
a=2 [5] 2^a =4 [5]
a=3 [5] 2^a =3 [5]
a=4 [5] 2^a =1 [5]

b=1 [5] 3^b =3 [5]
b=2 [5] 3^b =4 [5]
b=3 [5] 3^b =2 [5]
b=4 [5] 3^b =1 [5]

ce qui confirme qu elles ont la meme paritee

2^x =2mn
3^y=m^2 -n^2
5^z=m^2 +n^2

la somme de 2 naturels et impaire ==> l un est impaire et l autre est pair
n|2^x ou m|2^x . le seul impaire qui diise 2^x est un . donc m=1 ou n=1
m^2 -n^2 >=1 donc m^2>n^2 comme m et n sont tout 2 non nuls on a donc n=1

pour Zsigmondy c est simple: pourchaque nombre sous forme de Xn =a^n +b^n ou a^n -b^n (sauf certaines exception) il existe un premier qui divise Xn mais aucun des Xi avec i<n . 5^n n admettant de diviseur premier sauf 5 fait donc partie de ces exceptions