Autre méthode .

J'ai résolu cette inégalité avec une méthode très moche et je veux voir s'il y en a d'autres plus jolies .
prouver que pour tout réels a,b et c de [0,1] :


Merci d'avance.

P.S: je donne ma réponse ou bien j'attends vos solutions avant de le faire ?

1 ère solution
D'aprés l'inégalité de Cauchy on a



il suffit de Mq que

ce qui equivaut à

ce qui est trivial d'aprés la condition de b et c

2 ème solution avec Am Gm
comme les nombres abc et (1-a)(1-b)(1-c) sont inférieur à 1 alors

Abdek_M a écrit:

1 ère solution
D'aprés l'inégalité de Cauchy on a



il suffit de Mq que

ce qui equivaut à

ce qui est trivial d'aprés la condition de b et c

2 ème solution avec Am Gm
comme les nombres abc et (1-a)(1-b)(1-c) sont inférieur à 1 alors

Oups ! je savais que la mienne était moche . Très joli travail Abdek , merci !
Voilà la mienne :
par AM-GM on a : [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(1-a)+(1-b)+(1-c)\geq%203\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\Leftrightarrow%20\sqrt{\left(\frac{3-(a+b+c)}{3}%20\right%20)^3}+\sqrt{abc}\geq%20\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}+\sqrt{abc}[/img]
il reste donc à montrer que
on sait aussi par AM-GM que [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b+c\geq%203\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow%20\sqrt{\left(\frac{3-(a+b+c)}{3}%20\right%20)^3}+\sqrt{abc}%20\leq%20\sqrt{1-\sqrt[3]{abc}}+\sqrt{abc} [/img]
en posant [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=\sqrt[3]{abc}[/img] £ [0,1] il suffira de montrer que
ce qui est clairement vrai .
Sauf erreur et merci

Désolé , mais je ne sais pas pourquoi le LateX ne s'affiche pas comme il faut

Oubien

ce qui reste a démontrer c'est :
ce qui vrai vu les conditions .

Sporovitch a écrit:

Oubien

ce qui reste a démontrer c'est :
ce qui vrai vu les conditions .

C'est semblable à ce qu'a fait Abdek non ?
d'accord , d'accord je sais que j'ai pas choisi la bonne méthode hahaha

tarask a écrit:

C'est semblable à ce qu'a fait Abdek non ?

Non
Abdek a utilisé le fait de :
(a²+b²)(x²+y²)>=(ax+by)²
et moi j'ai utilisé le fait que x²+y²>=2xy
C'est pas pareil.

Abdek_M a écrit:

il suffit de Mq que

ce qui equivaut à

ce qui est trivial d'aprés la condition

Oui , je sais qu'il a utilisé Cauchy mais à la fin il s'est servi de la même chose .
En tout cas , merci tous les deux , j'en suis vraiment très reconnaissant

Salut Tarask : ) une autre sans theoréme de ma création :

Spoiler:

Celà peut-étre réduit en 3 lignes, par exemple chosir du premier coup a=1/(p+1).
J'ai choisi de citer plus de details.

tarask a écrit:

Désolé , mais je ne sais pas pourquoi le LateX ne s'affiche pas comme il faut

Les accolades n'apparaissent pas en ce Latex.