partie entière

M.Q:

avec n est un élément de IN*

Division euclidienne de n par 3 : n = 3q + r.
[n²/3] = [(3q+r)²/3] = [(9q²+6qr+r²)/3] = [3q² + 2qr + r²/3] = 3q²+2qr+[r²/3]
[2(n+1)/3] = [2(3q+r+1)/3] = [2q+2(r+1)/3] = 2q + [2(r+1)/3]
[(n+1)²/3] = [(3q+r+1)²/3] = [(9q²+(r+1)²+6q(r+1))/3] = [3q² + 2q(r+1) + (r+1)²/3] = 3q²+2q(r+1) + [(r+1)²/3].

Cela consiste donc à montrer que [r²/3] + [2(r+1)/3] = [(r+1)²/3].
Cela peut se faire facilement par disjonction de cas puisque r en tant que reste d'une division euclidienne par 3 ne peut prendre que 3 valeurs différentes (0, 1 et 2)

ou bien on a (n²-3)/3<E(n²/3)<=n²/3 et (2n-1)/3<E(2(n+1)/3)<=2(n+1)/3
et -(n+1)²/3=<-E((n+1)²/3)<(-n²-2n)/3
alors -5/3<E(n²/3)+E(2(n+1)/3)-E((n+1)²/3)<2/3 et puisque n£IN*
et n²/3 + 2(n+1)/3>=(n+1)²/3
alors -1<E(n²/3)+E(2(n+1)/3)-E((n+1)²/3)<1/3 et E(n²/3)+E(2(n+1)/3)-E((n+1)²/3)£Z
alors E(n²/3)+E(2(n+1)/3)-E((n+1)²/3)=0
alors E(n²/3)+E(2(n+1)/3)=E((n+1)²/3)
Sauf erreur et merci