Solution officielle
1) le résultat de cette question est un cas particulier du 2) voir aussi la solution de aissa.
2) On pose A_n=a_0+ ... +a_n. On distigue alors 2 cas.
1er Cas : A_n est de signe constant à partir d'un certain rang.
==> il existe N, n>=N A_n est de signe A_N ( A_N étant non nul). Quitte à prendre (-a_n), on peut supposer que ce signe est positif.
Soit µ>0 , il existe M>N, qqs p>M, qqs q on a : |a_px_p+...+a(p+q)x_(p+q)|<µ/2.
Soit A_m=Min{A_k / k>=M}. La transformation d'Abel donne
0=<A_(m+q)x_(m+q)=<|sum(n=m+1 à m+q) a_nx_n|+A_mx_(m+q)-sum(n=m+1 à m+q-1)(A_n-A_m)(x_n-x_(n-1))
=< µ/2+A_mx_(m+q)
==> lim A_nx_n=0
2éme Cas : A_N n'est pas de signe constant au voisinage de +00 ( quand N-->+00).
il existe f:IN ---> IN, strictement croissante telle que A_p est de signe constant pour p dans [f(k),f(k+1)], et A_f(k)=A_f(k+1)=0.
Soit m=f(N), donc A_m=0 on a alors pour p>=2 :
A_(m+p)x_(m+p)=sum(n=m+1 à m+p)a_nx_n-sum(n=m+1 à m+p-1)A_n(x_n-x_(n+1))
Les A_n sont de signe constant pour n dans {f(k),f(k)+1,...,f(k+1)}
A_(m+p) et sum(n=m+1 à m+p-1)A_n(x_n-x_(n+1)) sont donc de même signe
==> |A_(m+p)x_(m+p)|=<|sum(n=m+1 à m+p)a_nx_n|
La convergence de la série (a_nx_n) ==> lim x_n=0
Comme A_f(N)=0 ==> |A_(f(N)+1)x_(f(N)+1)|=|x_(f(N)+1)| --->0 quand N --> +00
Soit µ>0 , il existe M tel que qqs N>M et qqs p>=2 on a :
|sum(n=f(N)+1 à f(N)+p) a_nx_n|=<µ et |A_(f(N)+1)x_(f(N)+1)|<µ
Soit n>=f(N)+1. Si il existe L>=N tel que n=f(L)+1, alors on a |A_nx_n|<µ.
Sinon, il existe L>=N, il existe p dans {2,3,...,f(L+1)-f(L)} tel que n=f(L)+p.
On a alors |A_nx_n|<|sum(n=f(N)+1 à f(N)+p) a_nx_n|=<µ.
Donc lim A_nx_n=0
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