problème N°23 de la semaine (03/04/2006-09/04/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir le condition de participation
Merci

Solution postée
voici la solution de cohlar
m et n étant deux entiers naturels non tous deux nuls, tous leurs diviseurs communs sont les diviseurs de leur PGCD. Il est clair que si m=n, les deux nombres étant identiques, P(m)=P(n). Si n<m, alors PGCD(m;n)<m donc m n'appartient pas à l'ensemble des diviseurs communs à m et à n donc m et n n'ont pas les mêmes diviseurs communs. Or s'ils n'ont pas les mêmes diviseurs, le produit de ses diviseurs ne sera pas le même, donc P(m)=P(n) si et seulement si m=n.

S'il manque quelque chose à ma démonstration (j'ai l'impression qu'il faut démontrer "s'ils n'ont pas les mêmes diviseurs, le produit de ses diviseurs ne sera pas le même" mais je ne sais pas comment), j'attend vivement la solution ^^.

Merci pour ce problème!

Bonsoir
Solution postée
voici la solution de abdelbaki attioui
Soient m,n>0 tels que P(n)=P(m).
Il est clair que si p est un diviseur de P(n), alors p divise n.
Donc m et n ont les mêmes diviseurs premiers.
Le Th. de décomposition en facteurs premiers donne :
n=p_1^a_1 ...p_s^a_s avec a_i>=1.
m=p_1^b_1 ...p_s^b_s avec b_i>=1.

Or tout diviseur d de n s'écrit : d=p_1^c_1 ...p_s^c_s avec
a_i>=c_i>=0.
Donc P(n) est de la forme : P(n)=p_1^d_1 ...p_s^d_s.
Pour calculer d_i, on fixe k dans {0,1,..,a_1} il y a exactement
(a_2+1)...(a_s+1) diviseurs pour lesquels c_1=k. Lorsque l’on multiplie
tous
ces diviseurs, on aura donc:
d_1=(a_2+1)...(a_s+1)(1+2+...+a_1)=a_1(a_1+1)(a_2+1)...(a_s+1)/2
De manière similaire : d_i=a_i(a_1+1)(a_2+1)...(a_s+1)/2.

Si on désigne par t(n) le nombre de tous les diviseurs >0 de n ,
alors P(n)²=n^(t(n)).

On a pour tout i : a_it(n)=b_it(m) . On pose : r= t(m)/t(n).
(on peut supposer r>=1 , il suffir d'échanger les rôles de m et n)
Mais a_i=rb_i donne en remplaçant
r(rb_1+1)(rb_2+1)...(rb_s+1)=(b_1+1)(b_2+1)...(b_s+1) on ne peut avoir
r>1.
On a donc r=1. c-à-d t(n)=t(m) et parsuite m=n.
A+

salut,
solution postée
voici la solution de toetoe
supposons que P(n) = P(m) .

donc le produit des diviseurs de m = le produit des diviseurs de n
(1) .

un diviseur d'un nombre K n'est qu'un produit de nombres premiers
divisant K
(2) .

(2) et (1) => que m et n ont les memes nombres premiers qui les
divisent
(3).

(3) => m = n.

bonsoir
solution postée
voici la solution de mt2sr
http://cjoint.com/?ekjXaXxwlJ
@+

Heya
"solution postée"
Seya
la solution du simo::

n appartient a P(n)=P(m) donc n/m
Or m appartient a P(m)=P(n) donc m/n
d'ou n=m !
By the way , can u send us a mail when there is a new challenge ? !
thx

Well, I don't know if it'd be a really good idea...
Indeed, you know that there is a new challenge every week, so, you just have to check it each week, hence, a mail is not really necessary...

On a side note, where do you come from? And how did you get the address of this forum?

See you around!

OKey !