Exo arithmétique (olympiades)

Bonjour, je voudrais de l'aide pour finir un exo.
Soit E={1,2,...,280}
Quel est le plus petit entier n, qui est tel que toutes partie de E à n éléments possède 5 nombres 2 à 2 premiers entre eux.
c'est un peu compliqué

Bonsoir :
Déjà n >=5 ( Tu t'en doutais surement :p )
Ensuite remarquons que ce n>=144 par ce qu'on a 140 nombre pair est donc non premiers entre eux donc si on prends la parties composé des pairs de n pour qu'elle ai les 5 nombres premiers entre eux il faut que n>=144 . De plus il y a 46 multiple de 3 qui sont impairs est donc n>= 189 de même pour 5 donc n>=198 , pour 7 aussi n>=199 .Maintenant on est sûr que parmis ces 199 élément il y en a au moins un donc l'écriture en produit de facteurs premiers ne contient ni 2 ni 3 ni 5 ni 7 ; on a d'après le théorème des nombres premier environs 49 nombres premiers dans cet ensemble , supposons que la partie prise ne les contient pas ...De plus on à 8 puissances de 2 , cinq puissances de 3 , 3 puissances de 5 et deux puissance de 7 . donc parmis ces 199 élements il n'y aura qu'un élement qui n'est divisible ni par deux ni par 3 ni par 5 ni par 7 , mais dans ce cas on aurait alors pris les 8 puissances de 2 et 5 puissances de 3 ... Ce groupe forme 5 nombre premiers entre eux ( exemple 2;27,125,49,143) , réciproquement 198 ne remplis pas la condition et donc on peut conclure que n=199.Sauf erreur

voici ce que je propose :
Pour moi, il faut chercher le nombre qui admet le plus de nombre non premiers avec lui...On pense à calculer 2*3*5*7=210 qui semble être un bon candidat.
Un petit calcul (formule du crible de Poincarré) nous dit qu'il y a 216 nombres qui ne sont pas premiers avec 210...

Conclusion n≥217

Cependant je n'arrive pas à montrer que 217 convient (ou pas) (c'est là que je demande votre aide).
merci Amicalement

voila!! j'ai trouver une solution mais je ne sais pas ci elle est juste
en plus elle est un peu longue .je la posterai si personne ne trouve!!!

voila:

s'il y a 217 nombres, il y en a certainement de plus intéressants que 210.
Il faut appliquer le principe des tiroirs.
multiples de 2 : ?
multiples de 3 mais pas de 2 : ?
multiples de 5 mais pas de 2 ni de 3 : ?
...
nos tiroirs sont formés en considérant le plus petit premier divisant le nombre (1 est mis dans un tiroir tout seul, il est pratique il est premier avec tout le monde).
Pour trouver un minorant, le principe s'applique sans trop de difficultés.

Dans le sens inverse, on compte le nombre de premiers,
si 5 premiers distincts (terminé)
Ensuite en supposant qu'il y ait moins de 4 premiers, minorer les tiroirs "2", "3", "5", et "7". Il y a toujours un nombre N qui est premier ou produit de premiers autres que 2, 3, 5 et 7. 5 (ce produit ne peut pas en contenir beaucoup).
Puis montrer que dans le tiroir "7", il y en a assez pour en choisir un M qui est premier avec N.
Puis dans le tiroir "5", il y en a assez pour en choisir un qui est premier avec M et N…
elle un peu longue mais essayez de la lire attentivement.

C'est un peu ce que j'ai fait , mais remarque que ta première étape celle qui consiste à mettre 1 tout seul ne sert trop à rien , car ici on veux que la règle soit vrai quelque soit la partie prise et donc il est clair que pour que ce soit vrai on cherchera dans les parties de E qui posent problème et donc qui ne contiennent pas 1 . Je ne saurais te dire si ce que tu viens de faire ici est le principe des tiroirs ou pas ( à mon avis c'est pas vraiment cela ) . Ensuite tu devrai remarqué que si un nombre est une puissance de 2ou 3 ou 5 ou 7 il est premier avec tout les nombres qui ne contiennent pas 2 ou 3 ou 5 ou 7 dans leurs écritures sous forme de produits de facteurs premiers ( ou dont la valuation 2,3,5ou7-adique=0 cela revient au même ) ; bref c'est ce que j'ai fait dans mon premier post , il pourrait y avoir une erreur de calcul , mais si tu pense que 199 est trop petit tu devrais donné un contre exemple d'une partie de 199 nombres et ne contenant pas 5 premiers entre eux 2 à 2 . Amicalement .

J'ai pas bien compris l'énoncé!!!!!!!!!!!Quelqu'un peut expliquer?