Inégalité

a,b,c>0, tels que ab+bc+ca=1.
Monter que :
racine cubique (1/a+6b)+racine cubique (1/b+6c)+racine cubique (1/c +6a)<=1/abc

on désigne par r3(x) la racine cubique de x.
l'inégalité equivaut à
S=sum(r3(bc+6a(b^2)c)) <= 1/(abc)^(2/3)
la fonction r3 est concave donc S<=3.r3{(ab+bc+ca+6abc(a+b+c))/3}
Or abc(a+b+c) <={(ab+bc+ca)^2}/3 donc
S<= 3 or (abc)^(2/3) <= (ab+bc+ca)/3=1/3 donc
S<=3<=1/(abc)^(2/3).
J'espère que c'est clair.