Olympiade TSM n°4

Problème 1.
Déterminer toutes les entiers positifs n tels que:
-2^0+2^1-2^2+2^3-2^4+...-(-2)^n=4^0+4^1+...+4^{2010}
Problème 2. (UK MO)
Un entier a été retiré de l'ensemble S={1,2,3,...,n} des entiers naturels de 1 à n. La moyenne des autres entiers restants de S est égale à 163/4. Quel entier a été retiré?
Problème 3. (MAR CP 1992)
A partir des chiffres 1,2,...,9, on écrit tout les nombres formés par ces neuf chiffres (les neuf chiffres sont tous distincts) puis on les ordonne par ordre croissant comme suit:
123456789, 123456798,...., 987654321.
Quel est le nombre dont le rang est 100000.
Problème 4 (Chinese Mathematical Olympiad)
Deux cercles (C_1) et (C_2) se coupent en A et B. Une droite passe par B coupe (C_1) en C et (C_2) en D. Une autre droite passant par B coupe (C_1) et (C_2) en E et F respectivement, (CF) coupe (C_1) et (C_2) en P et Q respectivment. Assurez vous que vous avez dans votre diagram B,E,C,A,P£ (C_1) dans cet ordre et que B,D,F,A,Q £ (C_2) dans cet ordre. Soit M et N les milieux des arcs BP et BQ respectivement. Prouver que si CD=EF, alors les points C,F,M et N sont cocycliques.

Merci Mohe.
Une question : MAR CP 1992, c'est le Maroc ?

jamais! LE MAROC?? hh , une blague

Je ne posterai pas des solutions aux trois premiers problèmes puisque la plupart des candidats les ont résolues.
Problème 4.
A mon avis la difficulté de ce problème est de penser à utiliser le points A qui parait inutile.
Remarquez tout d'abord que les triangles FPE et DQC sont isométriques, et donc FP=DQ. Remarquez aussi que les triangles ADC et AFE sont isométriques et par conséquent AF=AD. et puisque angle{PFQ}=angle{QDA} on retrouve que les triangles ADQ et AFP sont isométriques, d'où AP=AQ ainsi angle{APQ}=angle{AQP} et ainsi AB est la bissectrice intérieure de angle{FBC}. Puisque M et N sont les mileux des arc PB et QB, on prouve facilement que CM et FN sont les bissectrices intérieures des angle{BCP} et angle{BFC} respectivement. D'où les droites CM, FN et AB sont concourantes en un point X qui est le centre du cercle inscrit au triangle FBC. Soit M_1 le deuxième points d'intersections du cercle circonscrit au triangle CFN avec (C_1), d'après le theorème des axes radicaux: les droites CM_1, FN et AB sont concourantes, d'où on peut définir le point M_1 comme l'intersection de CX et (C_1), d'où M_1 coincide avec M et par conséquent, les points C, F , M et N sont cocycliques.

Commentaire.
Ma première remarque, c'est qu'enfin ils ont eu le courage de proposer un test sans Inégalités.
Le premier problème doit être facile, oui, mais là ce n'était pas facile, ce n'étais pas trivial, ce n'est pas exercice. Pour le deuxième problème, c'est vraie qu'il est facile, la plupart diront que ce problème est aussi, comme le premier, un jeu d'enfant mais à mon avis, il était bien choisi surtout que le test étais en 3 heures et que c'est la première fois qu'ils nous testent en arithmétique. Pour le troisième problème, je me demande si ce "MAR" siginifie le Maroc. Apparement, tout ce dont ils sont capables est de créer des problèmes calculatoires et sans intérêt, à mon avis ce problèmes est mal choisi, soit au niveau de difficulté sois au niveau d'intérêts. Pour le quatrième problème, je me demande dans un premier temps, pourquoi il y avait écrit "Chinese Mathematical Olympiad" toute complète et non abrévié: "CMO" ou "China MO" comme était le cas dans les autres tests. Si j'ai à noter ce problème, je dirai qu'il est bien choisi, pas seulement au terme de difficulté mais aussi au terme d'intérêt.

Je te l'ai déjà dis mais je le redis quand même , belle solution , et oui tu as raison à propos du point A ( j'ai bloqué dessus surtout que j'avais plus de temps avec le fichu problème 3 ) Mais remarque ce n'est pas la seul chose il faut aussi pensé à utilisé les axes radicaux , enfin pour le commentaire tu as tout dis . Amicalement

MohE a écrit:

Ma première remarque, c'est qu'enfin ils ont eu le courage de proposer un test sans Inégalités.
Le premier problème doit être facile, oui, mais là ce n'était pas facile, ce n'étais pas trivial, ce n'est pas exercice. Pour le deuxième problème, c'est vraie qu'il est facile, la plupart diront que ce problème est aussi, comme le premier, un jeu d'enfant mais à mon avis, il était bien choisi surtout que le test étais en 3 heures et que c'est la première fois qu'ils nous testent en arithmétique. Pour le troisième problème, je me demande si ce "MAR" siginifie le Maroc. Apparement, tout ce dont ils sont capables est de créer des problèmes calculatoires et sans intérêt, à mon avis ce problèmes est mal choisi, soit au niveau de difficulté sois au niveau d'intérêts. Pour le quatrième problème, je me demande dans un premier temps, pourquoi il y avait écrit "Chinese Mathematical Olympiad" toute complète et non abrévié: "CMO" ou "China MO" comme était le cas dans les autres tests. Si j'ai à noter ce problème, je dirai qu'il est bien choisi, pas seulement au terme de difficulté mais aussi au terme d'intérêt.

Chapeau mon Frere
En fait Ya une autre remarque c'est que meme Chinese mathematical OLympiad n'est pas bien traduite lol
mais bon le test était pas mal .

MohE a écrit:

Commentaire.
Ma première remarque, c'est qu'enfin ils ont eu le courage de proposer un test sans Inégalités.
Le premier problème doit être facile, oui, mais là ce n'était pas facile, ce n'étais pas trivial, ce n'est pas exercice. Pour le deuxième problème, c'est vraie qu'il est facile, la plupart diront que ce problème est aussi, comme le premier, un jeu d'enfant mais à mon avis, il était bien choisi surtout que le test étais en 3 heures et que c'est la première fois qu'ils nous testent en arithmétique. Pour le troisième problème, je me demande si ce "MAR" siginifie le Maroc. Apparement, tout ce dont ils sont capables est de créer des problèmes calculatoires et sans intérêt, à mon avis ce problèmes est mal choisi, soit au niveau de difficulté sois au niveau d'intérêts. Pour le quatrième problème, je me demande dans un premier temps, pourquoi il y avait écrit "Chinese Mathematical Olympiad" toute complète et non abrévié: "CMO" ou "China MO" comme était le cas dans les autres tests. Si j'ai à noter ce problème, je dirai qu'il est bien choisi, pas seulement au terme de difficulté mais aussi au terme d'intérêt.

Et pourquoi ne pas écrire tous simplement "CIMO" . Sinon congrat's pour la jolie soluce .

PS : Ils ont pas indiqué la source de l'exo 1

Salut ..

Je tiens a félicite Moh pour sa belle solution ^_^ , a propos du commentaire sur le test vous avez tous dis ..... ,

la reponse du 3 probleme est : 358926417 ????

Je me rappel plus précisément mais en gros c'étais ça

OKi Mercii !!! ^^ /D

bonsoir!!
Qui peut nous donner une figure pour l'exercice de géometrie en respectant l'ordre des points donné ?

L'ordre des points est faux .

Figure ( ordre au sens horaire ) : :

Oui l'ordre que j'ai donné y avait une faute (de frappe) dans le deuxième ordre: ça doit être B,D,F,A,Q mais en tout cas la figure reste la même. Grand merci à Baraa qui me l'as signalé. Et merci à vous tous les amis d'avoir pris la peine de lire et de commenter ma solution.

En ce qui concerne le stage suivant (Avril): Probablement; il sera beaucoup plus difficile que le premier, et peut être aussi beaucoup plus difficile que ce qu'on voyait dans les entrainements des années précédantes, surtout après ces deux tests. Au fait, on nous a jamais proposé un problème (jusqu'à présent) que personne ne l'as fait. En ce qui concerne les inégalités, ils ont distingué (comme toutes les années précédantes) que la plupart des candidats sont capables de résoudre des problèmes de difficultés variantes, et la plupart des candidats n'ont raté aucune inégalité jusqu'à présent. Pour la geomtrie, ils ont surtout remarqué que cette génération est consciente de l'importance de la geometrie, et comme vous avez remarqué dans les stages, il y avait plus de 6 personnes qui sont assez fort en geometrie, et les autres n'y avaient pas peur, et prennaient la peine à faire la figure et essayer, chacun de son niveau, d'y trouver au moins quelques résultats, et tout commes les inégalités, on nous a jamais proposé un problème que personne ne l'as résolu. Pour les équations fonctionnelles, on nous as pas vraiment accorder une chance pour nous tester, puisqu'on nous a proposé jusqu'à présent seulement trois. Mais c'est presque la même chose que la geometrie, et même l'équation fonctionelle qu'on nous a proposé le Vendredi d'avant, qui été loin d'être trivial, a été résolu par plusieurs candidats. Finalement l'Arithmétique, ce n'étais qu'hier qu'on a testé nos connaisances et abilités pour la première fois, et ils remarqueront que ce problème était trivial pour la plupart (si je ne dis pas tout) des candidats. Ceci n'était que l'histoire des Terminales, Que doivent-ils attendre des supp?
L'intéressant, et que les tests du stage seront en 4 heures (si je me rapelle bien) et bien-sûr 4 problèmes, j'assume donc que nous n'auront plus des problèmes trivial, même le premier problème ne sera pas trivial, mais facile. Et que nous auront toujours affaire à des problèmes du haut niveau. Hier c'était la Chine, on ne pourra pas donc exclure la présence des G8, N6 , A6, Russie, Iran et Roumanie.
Après tous cela, vous pourrez constater pourquoi je suis optimiste en ce qui concerne notre pays cette année, même avec l'absence des entrainements, même avec la présence du Bac, On aurra de bonnes résultats Incha'Allah.

C'est clair qu'il y a du niveau.

pour vos informations ,cette année on va convoquer un élève de kénitra en première pour le deuxième stage (et je pressens que c'est Dijkcshneier )alors rendez vous au 2éme stage et que le meilleur gagne!

Salim , d'où tu tiens cette information ??
Sinon, Dijkschneier a largement le niveau pour les IMO

salimt a écrit:

pour vos informations ,cette année on va convoquer un élève de kénitra en première pour le deuxième stage (et je pressens que c'est Dijkcshneier )alors rendez vous au 2éme stage et que le meilleur gagne!

Good InFo!!
Comme ça on aura un nombre pair de condidats .. pour qu'on psuisse jouer un match de foot
Sinon Bienvenue Dijkcshneier

Enfin!! Le Maroc est enfin entrai de se réveiller, accorder une chance aux élèves de Première est vraiment un grand pas en avant, Comme ça le défie sera beaucoup plus enflammé, surtout si notre invité est vraiment Dijk. Je tiens à remercier Salim pour l'information et à féliciter Dijk, c'est mérité!

Comme Salim l'avait dit, rendez vous le premier avril et que le meilleure le prouve!

Merci (mais je crois que c'est plus la sympathie de Moussaoui qu'il faut remercier) , mais je me demandais si c'était vraiment le 1er avril, puisque la semaine de vacances ne commence qu'à partir du 3 avril ?!

Superbe nouvelle !
Oui, c'est le 1er avril.

Dijkschneier, est-ce-qu'ont t'as convoqué car tu es le premier au Maroc aux olympiades de première ?

Dijkschneier , Chapeau!
Mes respects.

Mehdi.O a écrit:

Salim , d'où tu tiens cette information ??
Sinon, Dijkschneier a largement le niveau pour les IMO

c'est les gens de rabat qui me l'ont dit.