équivalence complexe

Bonjour,
Je suis bloqué sur cet exercice :

Montrer que pour tout nombre complexe z on a :
( z différent de -1 et |z| = 1 ) <=> il existe un réel x tel que , z = (1+ix)/(1-ix)

l'inclusion de gauche à droite est direct , pour celle de droite à gauche :
x=tan(alpha) et donc (1+ix)/(1-ix) = e(i alpha) / e(-i alpha ) = e(2ialpha) et donc tout nombre z tel que |z|=1 s'écrit sous cette forme .

z = (1+ix)/(1-ix) =(i-x)/(i+x)
<==> z(i+x) = i-x
<==> x=i(1-z)/(1+z)

Il s'agit de montrer que : |z|=1 et z#-1 <==> Im(i(1-z)/(1+z))=0

Im(i(1-z)/(1+z))=Im(i(1-z)(1+z^))/|1+z|²

i(1-z)(1+z^)=i(1-|z|²+z^-z)=i(z^-z)=2Im(z)