complexe

demontrer que
lz+tl=lzl+ltl equivau arg(z)=arg(t)[2pi]
lXl vx dire module de X

Plus intéressant... Montrer que |Sigma Zi| = Sigma |Zi| si et seulement si les arguments des Zi sont tous égaux (modulo 2pi).

C'est quoi ça ???

$arah a écrit:

demontrer que
lz+tl=lzl+ltl equivau arg(z)=arg(t)[2pi]
lXl vx dire module de X

Dis-moi Sarah , ça t'amuse de poser la même question !!!!!
( Tu seras d'accord avec moi , écrire << il existe un a de R+ TEL QUE z=at ou t=az >> est équivalent à << arg(z)=arg(t)[2pi] >> ) !!!!!

Vas voir ICI :
https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/nc-t6481.htm#51902
De nouveau , voici ma réponse :
<<Je vous propose ceci :
On pose z=a.exp(iu) et t=b.exp(iv) ( écriture traditionnelle des nombres complexes ) a et b sont les modules et u, v les arguments modulo 2Pi
Si f est un complexe , on notera F son conjugué .
Noter que f.F=|f|^2
Si |z+t|=|z|+|t|
On éléve au carré pour obtenir :
(z+t).(Z+T)={|z|+|t|}^2 soit
zZ+tT+zT+tZ=zZ+tT+2|z|.|t| d'ou ,après simplification ,
zT+tZ=2|z|.|t|=2a.b
Or zT+tZ=a.exp(iu).b.exp(-iv) + b.exp(iv).a.exp(-iu)
=ab.{exp(i(u-v)+exp(-i(u-v))}
=2abcos(u-v)
Par conséquent : 2a.b=2.a.b.cos(u-v)
Si on exclut les a=0 ou b=0 c'est à dire z=0 ou t=0 et pour lesquels le résultat demandé est trivial !!
Alors il reste le cas ou a.b<>0 , on simplifie pour obtenir :
cos(u-v)=1 donc (u-v)=o mod 2Pi
soit u=v mod 2Pi et de là
z=a.exp(iu) et t=b.exp(iu) donc z=(b/a).t
b/a est le coefficient qui fait l'affaire !!!
A+ BOURBAKI >>


PS : Post édité afin de rectifier l'écriture cos(u-v)=0 en cos(u-v)=1 la CONCLUSION est toujours en vigueur ....

Oeil_de_Lynx a écrit:

$arah a écrit:

demontrer que
lz+tl=lzl+ltl equivau arg(z)=arg(t)[2pi]
lXl vx dire module de X

Dis-moi Sarah , ça t'amuse de poser la même question !!!!!
( Tu seras d'accord avec moi , écrire << il existe un a de R+ TEL QUE z=at ou t=az >> est équivalent à << arg(z)=arg(t)[2pi] >> ) !!!!!

Vas voir ICI :
https://mathsmaroc.jeun.fr/groupe-etudiants-du-t-s-m-f28/nc-t6481.htm#51902
De nouveau , voici ma réponse :
<<Je vous propose ceci :
On pose z=a.exp(iu) et t=b.exp(iv) ( écriture traditionnelle des nombres complexes ) a et b sont les modules et u, v les arguments modulo 2Pi
Si f est un complexe , on notera F son conjugué .
Noter que f.F=|f|^2
Si |z+t|=|z|+|t|
On éléve au carré pour obtenir :
(z+t).(Z+T)={|z|+|t|}^2 soit
zZ+tT+zT+tZ=zZ+tT+2|z|.|t| d'ou ,après simplification ,
zT+tZ=2|z|.|t|=2a.b
Or zT+tZ=a.exp(iu).b.exp(-iv) + b.exp(iv).a.exp(-iu)
=ab.{exp(i(u-v)+exp(-i(u-v))}
=2abcos(u-v)
Par conséquent : 2a.b=2.a.b.cos(u-v)
Si on exclut les a=0 ou b=0 c'est à dire z=0 ou t=0 et pour lesquels le résultat demandé est trivial !!
Alors il reste le cas ou a.b<>0 , on simplifie pour obtenir :
cos(u-v)=0 donc (u-v)=o mod 2Pi
soit u=v mod 2Pi et de là
z=a.exp(iu) et t=b.exp(iu) donc z=(b/a).t
b/a est le coefficient qui fait l'affaire !!!
A+ BOURBAKI >>

Ce n'est pas plutôt : cos(u-v) = 0 donc (u-v)=Pi/2 mod 2Pi ?