Exo Arithmetique

salut .....

dans le manuel almofide j'ai pas pu resoudre les exo suivant

Exo 103

(a,b,c,d)€Z* tel que ∆(a,b)=∆(c,d)=1
montrer que ∆(ac,bd)=∆(c,d)∆(b;c)

Exo 126

posant P(i) un nombre premier tel que P(1)=2 et P(2)=3 et P(3)=5 ....ainsi de suite

pour n≥3 montrer que : P(1)P(2)P(3)....P(n)≥ P(n+1)+P(n+2)


j'attends vos indices

Poour le premier je pense qu'ils voulaient dire ∆(ac,bd)=∆(a,d)∆(b;c)
soit k = ∆(ac,bd) on écris k sous la forme de produit de facteurs premiers , chaque nombre premier de ce produit divise ac donc il divise a ou bien il divise c ( cas particulier de théorème de Gauss ) si pi|a donc pi|c car a^b = 1 de même si pi|c donc pi | b d'ou le résultats .

Pour le second Déjà cette inégalitée est stricte , on a pour n = 3 vrai supposons que c vrai pour n et prouvons le pour n+1 :
On a : P(1)P(2)P(3)....P(n)P(n+1)> P(n+1)(P(n+1)+P(n+2))
Il suffit de montrer que P(n+2) + P(n+3) < P(n+1)(P(n+1)+P(n+2))
Il est clair que P(n+1)P(n+2) > P(n+2) et donc il suffit de démontrer que P(n+1)^2 > P(n+3)
CAD qu'il existe deux nombres premiers entre P(n+1) et P(n+1) ^2 Par le Postulat de Bertrant(théorème de tchebychev ) on sait qu'il existe au moins un nombre premier entre P(n+1) et 2P(n+1) et aussi un nombre premier entre 2P(n+1) et 4P(n+1) or P(n+1)^2 > 4P(n+1) d'ou la fin de la récurrence .
Amicalement .