Olympiade TSM n°5

Exercice 1 :
Soient x,y et z trois nombres réels strictement positifs tels que : x²+y²+z²+2xyz=1
Montrer que : 2(x+y+z) <= 3

Exercice 2 :
Soient alpha, beta et gamma les angles d'un triangle ABC de périmètre 2p et soit R le rayon de son cercle circonscrit.
a) Montrer que : cot²(alpha) + cot²(beta) + cot²(gamma) >= 3(9R²/p² - 1), où cot(x)=cos(x)/sin(x)
b) Quel est le cas d'égalité ?

Exercice 3 :
Montrer qu'il existe deux fonctions f, g : IR --> IR telles que fog est strictement décroissante tandis que gof est strictement croissante.

Exercice 4 :
Soient a,b,c,d,m et n des entiers naturels non nuls tels que :
a²+b²+c²+d²=1989 et a+b+c+d=m² et n²=max{a,b,c,d}.
Déterminer les valeurs de m et n.

Je m'attendais à de la géométrie...
Et le problème 3 n'est pas du tout évident (les fonctions recherchées sont nécessairement discontinues).

les 3 autres exos sont triviaux le 3eme exo jé pensé au fonctions discontinues mais le ROMANIAN MATSERS fait peur ... t'as fait combien toi ?

Le 4 est assez ennuyeux pour un 4 vous trouvez pas ?

Tout le test apart le 3eme !

J'ai manqué le dernier en consacrant beaucoup de temps au troisième.
Au final, le troisième est très difficile.

j'ai vu la solution officiel je suis ému comment ils ont pu nous donner cet exo !!

Je l'ai vu moi aussi et je suis choqué...
Surtout que la Romanian Masters in Mathematics Competition est une IMO-like compétition.

Tu peux poster la solution officiel du 3 ( ou me l'envoyer c'est comme tu veux ) et merci d'avance .

Sporovitch a écrit:

j'ai vu la solution officiel je suis ému comment ils ont pu nous donner cet exo !!

Juste une question, où avez-vous vu la solution officielle? Et si elle existe pour les premières?

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2187579#p2187579

Bonsoir les amis
J'ai passé l'olympiade aussi les 3 trois exercices étaient faisables , le dernier comportait beaucoup de calcul (enfin d'après ce que j'ai fait) surtout le premier posté ici https://mathsmaroc.jeun.fr/t17337-nice .
Sinon le troisième m'a vraiment intéressé , très très joli problème (genre oraux ...)

Et salut Dijkschneier !!!

ayawyaah j'ai oublié ma solution postée au forum lool mais j'avais trouvé une autre similaire plus jolie !

Salut tarask.
Remarque que le premier est immédiat (en particulier : pas de calculs) une fois que la substitution x=cos(a) est faite (avec a,b et c les angles d'un triangle).

Dijkschneier a écrit:

Salut tarask.
Remarque que le premier est immédiat (en particulier : pas de calculs) une fois que la substitution x=cos(a) est faite (avec a,b et c les angles d'un triangle).

Crois-moi , je l'avais faite la substitution dans mon brouillon , mais j'ai préféré utiliser Schur , c'est mon inégalité préférée
Ouais Sporovitch , je l'avais oubliée aussi , mais dans un instant , ça m'est venu , je me suis rappelé du 1/8 qui faisait partie de l'exercice ...

salut les gas cb de candidats on été kalifiés pr passer cette troisieme epruve?

tahasinbad a écrit:

salut les gas cb de candidats on été kalifiés pr passer cette troisieme epruve?

Neuf.

Titu Andreescu et Dorin Andrica entraînent les Saoudiens : http://www.imo-official.org/year_reg_team.aspx?year=2011&code=SAU
On attend avec impatience la performance des Saoudiens cette année...

Ouais .
Sans Titu ni Dorin , notre équipe incha2allah aura de bons résultats !

Le Maroc a désormais sa page sur mathlinks : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=205&cid=199&year=2011

tarask a écrit:

Ouais .
Sans Titu ni Dorin , notre équipe incha2allah aura de bons résultats !

Inxallah.
On souhaite les participants toute la chance du monde, Soyez à la hauteur....

Bonjour tout le monde , svp quelles sont les inegalités et les theoremes qui ont fort , j'en connais Cauchy , Reordonnement , Chebychev et enfin IAG et convexe , ... quelles sont les autres qu'on doit savoir .. Merci d'avance
Amicalement

bonjour je veux bien savoir est ce qu'on a annoncé les qualifiés pour les IMO ??

pr le troisieme exo jai trouvé ke n=6