Oral Ulm

f application de N* dans R vérifiant:
i) V n,m £ N* , pgcd(m,n)=1 => f(m)+f(n)=f(mn)
ii) f est strictement croissante.
Montrer qu'il existe c dans R+* tq V n£ N*, f(n)=c Log(n).

Spoiler:

C'est facile il suffit de passer par les nombres premiers

Citation :

Spoiler:
Comme indication penser à passer par les nombres premiers.

Pouvez-vous proposer s'il vous plaît une solution maintenant que personne n'y a répondu ?

On pose g=exp(f) , g est aussi strict croissante et f(1)=0 ==> g(1)=1
g est une fonction multiplicative càd (m,n)=1 ==> g(m)g(n)=g(mn)
Le théorème d'Erdös ==> g(n)=n^c avec ( c>0) ==> f(n)=cln(n)




http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/articlespdf/Erdos.pdf

Merci abdelbaki.attioui pour la solution, et merci d'avoir ajouté un lien pointant sur un théorème peu connu et qui, me semble-t-il, est d'une importance cruciale...
Une question toutefois : attendait-on de l'élève durant l'oral à démontrer Erdos sur place ou était-il supposé connu ?

Dijkschneier a écrit:

Merci abdelbaki.attioui pour la solution, et merci d'avoir ajouté un lien pointant sur un théorème peu connu et qui, me semble-t-il, est d'une importance cruciale...
Une question toutefois : attendait-on de l'élève durant l'oral à démontrer Erdos sur place ou était-il supposé connu ?

De rien.
Non Le théorème pas forcément connu. En revanche la fonction multiplicative doit être vue par l'élève ( quand même c'est un oral d'ulm)

Puis généralement dans un oral où la question n'est pas évidente l'élève sera guidé par le jury dans ce cas il faut des bonnes réflexes.

Il faut le démontrer bien sur, même si c'est l'oral de l'Ulm, mais il faut déjà avoir la bonne idée de l'utiliser.
Sinon le lien est très intéressant, Merci pour le partage M.Attioui.
Ma résolution consiste sur le même cheminement d'idée:
On observe en premier lieu : f(1)=0 et que f(n)>=0 pour n£N*.
Dans une première tentative on essayera de montrer que si on a :
f(mn)=f(m)+f(n) alors on obtient le résultat f(n)=c*Log(n)
cela se fait en montrant que pour tout nombre premier p on a :
f(p)=c*Log(p) puis on passe à n à l'aide de la décomposition en nombres premiers et la condition qu'on a prise "f(mn)=f(m)+f(n)".
Maintenant après avoir pris une idée de la résolution, avec les conditions proposées:
La bonne idée c'est d'essayer de prouver que sous les hypothèses du problème on obtient tjrs :
f(mn)=f(m)+f(n).

n.naoufal a écrit:

2008|2009 : T.Sc.Math+ S.I (B) lycée OMAR IBN ABDELAZIZ
2009|2010 : MPSI lycée ALAIN-FOURNIER
2010|2011 : MP* lycée DESCARTES

Désolé mais Est-ce que ça fait partie de la solution? car je vois aucun rapport entre f(m)+f(n)=f(mn) et ce que tu viens décrire
sinon MP* Lycée DESCARTES cela veut dire que ton lycée n'est pas bien classé ? Il ny'a pas de Lycée MP***** ?
si je me rappele a l'époque du lycée j'étais accepté dans un Lycée MP*********
et je pense aussi que qq chose cloche dans ta solution car 2008 ne divise pas 2009 de meme pour 2009, 2010 et 2010; 2011
car tous ces nombres là sont premiers entre eux
Désolé si j'ai mal compris qq chose

ELHANSIFIDANCIWLEXCELENCI a écrit:

2008|2009, et 2009|2010

Je pense que cela est vrai que dans l'espace Hytraveronicien car dans l'espace Euclidien cela marche pas comme je l'ai deja indiqué dans mon previous message.
euuh ¨POur la classe MP******** elle contenait que 2 élèves les études étaient un peu boring , pas d'ambiance ... donc je regrette d'y etre accepté et je prefere etre accepté dans une classe MP****** Pour étudier avec toi Mr Elhancifidaci au moijs on peut faire nos recherches en paix ...

si vous êtes dans le même groupe "MP******" donc vous êtes réguliers, on peut se débarrasser de vous deux en même temps hhhhh.
Il y a de sacrés foules de membres dans ce forum de temps à autre et ça n'a pas changé :p

n.naoufal a écrit:

si vous êtes dans le même groupe "MP******" donc vous êtes réguliers, on peut se débarrasser de vous deux en même temps hhhhh.
Il y a de sacrés foules de membres dans ce forum de temps à autre et ça n'a pas changé :p

Ces nouveux membres me rappelle le proverbe "quand le sage désigne la lune, les stupides regardent son doigt".

Mais C'est quoi saa ?? Où tu trouve ton proverbe Merci d'indiquer la source
sinon moi je trouve dans le livre de Bob Marley version littérature :
"quand Mehdi.A désigne la Classe MP***********, les naamos regardent les vestiaires"
Ah et je te conseille bach tn9os chwia mn lé détail mon fils on est la pour faire les maths pas la presse si tu risque meme de ne pas etre intégré dans la classe MP*

Mehdi.A a écrit:

Mais C'est quoi saa ?? Où tu trouve ton proverbe Merci d'indiquer la source
sinon moi je trouve dans le livre de Bob Marley version littérature :
"quand Mehdi.A désigne la Classe MP***********, les naamos regardent les vestiaires"
Ah et je te conseille bach tn9os chwia mn lé détail mon fils on est la pour faire les maths pas la presse si tu risque meme de ne pas etre intégré dans la classe MP*

Mon cher, je n'ai pas voulu te blesser mais je vois que tu n'as pas encore saisi ce qui se passe.
Pour tes informations, j'ai ce livre et le proverbe que j'ai cité ainsi celui de boubou math se trouvent dedans.
Hélas, les cancres comme toi n'ont pas accès à la page 0 du livre où se trouve un tas de proverbes.
Cela est due au fait de l'enseignement que tu as eu dans l'école "MP à la puissance 11" qui ne produit que des bêtes.
Hélas, tu dois chercher maintenant une methode pour acceder à cette page. La page 0 va enrichir tes connaissances à propos des proverbes.
Je te laisse le soin de le faire.