l'ensemble des nombres algébriques

les nombres algébriques forment un corps commutatif.
sans l'utilisation du résultant.
Montrer que celui ci est dénombrable. Déduire ensuite que et ainsi l'existence des nombres transcendants .

on utilise les extensions du Q ( je posterai une preuve)
une autre méthode de voir que Q(barre) <>C est de penser à la constante de liouville :som(10^(-i!))

Oui tout à fait, cette méthode aussi est faisable en utilisant comme Liouville a fait les fractions continues et historiquement cette constante était le premier nombre réel qu'on a prouvé la transcendance.
Sinon pour la première question je serai très ravi de voir votre preuve, j'aurai une idée de plus Merci.

d'apres un résultat connu il suffit de montrer que si a,b algébrique alors Q[a+b] ,Q[ab] de degré fini
soient donc a,b algebriques de degrés n,m respectivement , Q[b] est une extension de degré m sur Q donc a fortiori de degré <=m sur Q[a]=T , donc deg(W=T(b))<=m W considéré comme extension sur T, mais deg( W/Q)=deg(W/T)*deg(T/Q) ( ou X/Yveut dire que X est une extension de Y), ainsi deg(W/Q) <= mn , or ab et a+b £ W donc Q[a+b],Q[ab] sont évidemment de degrés finis, le fait que si a est algebrique alors 1/a est algébrique semble évident
PS: la preuve au dessus ne m'appartient pas

Merci surtout pour l’esprit du partage, à vraiment dit je préfère cette méthode que celle utilisant le résultant même si cette dernière est plus facile à établir sans aucun résultat à connaitre.