Marathon d'Oraux

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Sauf erreur

Si ces zéros sont en nombre infini, ça veut dire quoi ?
Pour passer de la première à la deuxième, il suffit par l'absurde d'utiliser l'inégalité triangulaire en majorant les modules.

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Oui celui ci n'était pas du tout un oral, et ta solution est juste.
A toi.

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En vrac
première idée:se ramener au cas réel en raisonnant sur le segment -1,1 et la partie réel de f -le tvi peut servir- . puis démontrer le résultat pour tout diamètre du cercle en se ramenant au dernier cas par rotation.

deuxième idée: montrer que f est holomorphe et uitliser l'unicité du prolongement analytique.

pour ta première idée, je ne pense pas que le cas réel impliquera le cas en dimension 2
pour la deuxième idée on a pas suffisamment de conditions pour montrer que f est holomorphe
en tout cas si une idée des deux ça marche j'aimerais bien voir une preuve..

On suppose par l'absurde que f est différente de l'identité il existe donc deux points A et B liés par f(car f est son propre inverse) .On fait passer une courbe simple fermé de A et B qui intersecte le cercle unité dans exactement 2 points B1 et B2, on nomme la courbe L 1.on considère une autre courbe L2 simple passant de A vers le cercle intersectant ce dernier dans un point C.L1 inter L2 est un seul point c'est A.On montre que l'image de L1 inter l'image de L2 a un cardinal strictement supérieur à 1 ce qui montre que f n'est pas une injection.Absurde

D={z€C/|z|=<1} et U={z€C/|z|=1}
Soit Z={z€D/f(z)=z}, par hypothèse U c Z et Z est fermé.
Si on montre que Z est ouvert dans D alors, par connexité de D, on aura Z=D.

Soit (z_n) une suite de D\Z qui converge vers un z€D. Montrer que z€D\Z

Problème 8 :
Trouver toutes les fonctions f : R --> R+ continues telles que pour tout x de R :

f(0)=0 et f est croissante positive ==> f(x)=0 pour tout x=<0

Soit Z={x€R+/ f(x)=0}
Si Z est non majoré, qqs x>0 il existe y€Z : y>x ==> f(x)=0. Alors f=0
Si Z est majoré, soit a=sup Z ==> f=0 sur [0,a] et f >0 sur ]a,+00[ i.e Z=[0,a]

On a qqs x>a, f'(x)/2Vf(x)=2 ==> Vf(x)=2x+c pour tout x>a
par continuité, 2a+c=0 ==> c=-2a
==> f(x)=4(x-a)²

Résumé: les solutions du problème sont:
f=0 ou f(x)=4(x-a)² si x>a et f nulle ailleurs pour un certain a>=0