TDM - test 2 - Problème 2

Problème 2.
Déterminer si il existe une suite arithmétique infinie $TDM - test 2 - Problème 2 Bc4bafd1ae341024515d68b4a2b3d38422599036$ strictement croissante d'entiers positifs dont tout les termes sont des carrés parfaits.

Auteur du Problème : MohE

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

Solution:

Soit U_n une suite arithmetique tel qu'il soit U_n=a_n. U_n est une suite arithmétique, alors U_n+1 = U_n +r et U_n = U_0+nr
Puisque tous les termes de la suite sont des carrés parfaits, alors il existe un k dans IN tel que U_0 = k^2
Alors U_n=k^2+nr . U_n est strictement croissante alors r>0.
Maintenant, on appliquera bien l’idée que tous les termes sont carrés parfaits, on a U_0*U_k² = k^2(k^2+rk^2)=k^4(r+1) donc r+1 est un carré parfait. D’autre part, prenons n=r alors U_r=k²+r² un carré parfait.
Et de l’autre coin, U_1=k²+r carré parfait. Et U_{rk²}=k²+r²k²=k²(1+r²) donc 1+r² carré parfait et r² carré parfait.

Supposons qu'il existe deux carrés parfaits succissives dans IN. Comparant la différence des plus petits deux carrés parfaits sachant que x>0 et x appartient à IN , on a (x+1)²-x² = 2x+1>=3 et si x=0 serait 1. Mais dans notre cas précedant, on a (r²+1)-r² = 1 alors r=0 ..

Si r=0 alors la suite est bien constante, ce qui est contradictoire avec ce qu’on cherche. Donc il n’existe aucune suite arithmetique vérifiant l’énoncé..

M.Marjani a écrit:: Solution:

Soit U_n=a_n. U_n est une suite arithmétique, alors U_n+1 = U_n +r et U_n = U_0+nr
Puisque tous les termes de la suite sont des carrés parfaits, alors
U_0 = k^2 et k appartient à IN.
Alors U_n=k^2+nr . U_n est strictement croissante, alors r>0.
Maintenant, on appliquera bien l’idée que tous les termes sont carrés parfaits, on a U_0*U_k = k^2(k^2+rk^2)=k^4(r+1) donc r+1 est un carré parfait. D’autre part, prenons n=r alors U_r=k²+r² un carré parfait.

Je crois que U_0*U_k=k^2(k^2+rk)

Maître Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010

Je ne suis pas sûr mais voilà ce que j'ai fait :
Soit (a_n) une telle suite et soit r>0 sa raison
Posons a_(0)=b (b est un carré parfait)
Ainsi a_(n)=b+r*n
Cas 1: b=0, a_n=r*n. Et comme pour tout n, a_n est un carré parfait, alors r=n. Ce qui est contradictoire puisque r est constant.
Cas 2: b non nul. En prenant n=b*r : u_(b*r) = b+b*r²=b(1+r²) qui est un carré parfait.
Et comme b l'est, alors 1+r² doit l'être aussi. Ainsi 1+r²=d² <=> d²-r²=1 <=> (d-r)(d+r)=1
<=> d-r=d+r=1 <=> r=0 (et d=1). Ce qui est contradictoire puisqu'ainsi la suite ne serait pas strictement croissante.
Ainsi il n'existe pas de suite de carrés parfaits et strictement croissante

https://i.servimg.com/u/f42/16/62/75/03/codeco19.gif

vu que la difference entre les deux carrés est supérieur à la raison de la suite .

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

expert_run a écrit:

M.Marjani a écrit:: Solution:

Soit U_n=a_n. U_n est une suite arithmétique, alors U_n+1 = U_n +r et U_n = U_0+nr
Puisque tous les termes de la suite sont des carrés parfaits, alors
U_0 = k^2 et k appartient à IN.
Alors U_n=k^2+nr . U_n est strictement croissante, alors r>0.
Maintenant, on appliquera bien l’idée que tous les termes sont carrés parfaits, on a U_0*U_k = k^2(k^2+rk^2)=k^4(r+1) donc r+1 est un carré parfait. D’autre part, prenons n=r alors U_r=k²+r² un carré parfait.

Je crois que U_0*U_k=k^2(k^2+rk)

Plutot U_k² : ) faute de frappe ou faute du transformation de la version pdf à une écriture dans le forum.
Edité.

apparemment, toutes les solutions précédentes sont fausses (pour naoufal, je crois qu'on a u_(n+1)²+u_(n-1)²=2u_n² et non pas u_(n+1)²-u_(n-1)²=2u_n²) alors voici la bonne solution cheers

Notons $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ pour une certaine suite $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ à valeurs positives (strictement croissante elle aussi) et soit r la raison de la suite $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ .
$TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ , qui est positif pour un certain n>=N, car $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ .
Ainsi, pour un n à partir d'un certain rang N, on a $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ , d'où la contradiction.

Expert sup Nombre de messages : 1665 Age : 29 Date d'inscription : 05/03/2010

SarakZit.A a écrit:: apparemment, toutes les solutions précédentes sont fausses.

Oui, parce que vos mathematiques sont indépendants des notre !! Razz

Débutant Nombre de messages : 2 Age : 111 Date d'inscription : 03/07/2011

Bonjour Mon Ami sarakzit.A je suis heureux de te retrouver
j'espère que tu me rappelle de toi et que je te rappelle de moi
je confirme aussi que toutes les solutions préseentées sont fausses.

J'espere aussi que tu m'indique l'ensemble où t'as travaillé et m'éxpliquer le passage suivant :
car j'ai tout oublié je n'ai pas touché cela dès que j'ai participé aux IMOs 1940 ,1941 ... 1950
Mais j'ai voulu me rappeler car Mehdi.A m'a convoqué pour participer a l'IMO 2012 il m'a dit qu'il y a un manque de participants . et mabghitch n7achmou je veux avoir plus de 40 points a 'LIMO

SarakZit.A a écrit:: $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ , qui est positif pour un certain n>=N, car $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ .

Houta.A a écrit:

J'espere aussi que tu m'indique l'ensemble où t'as travaillé et m'éxpliquer le passage suivant :
car j'ai tout oublié je n'ai pas touché cela dès que j'ai participé aux IMOs 1940 ,1941 ... 1950
Mais j'ai voulu me rappeler car Mehdi.A m'a convoqué pour participer a l'IMO 2012 il m'a dit qu'il y a un manque de participants . et mabghitch n7achmou je veux avoir plus de 40 points a 'LIMO

SarakZit.A a écrit:: $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ , qui est positif pour un certain n>=N, car $TDM - test 2 - Problème 2 Gif$ .

oui je te reconnais Houta ! je te rappelle de moi !
pour repondre à ta première question, l'ensemble considéré est en fait S. Cool

et pour répondre à ta deuxième question, le passage peut etre vu comme une application du "Kronecker Jugendtraum", c-à-d le rêve de jeunesse de Kronecker, ce qui entre dans le cadre de la théorie d'Iwasawa à une 2-extension près (le corps de décomposition est semi-compact) mais peut egalement etre vu comme une rupture dans le groupe de Galois local engendré par S.
j'espère que ça a répondu à ta question, et ça, c'est permet !

Habitué Nombre de messages : 15 Age : 64 Date d'inscription : 23/06/2011

Houta.A a écrit:: car j'ai tout oublié je n'ai pas touché cela dès que j'ai participé aux IMOs 1940 ,1941 ... 1950
Mais j'ai voulu me rappeler car Mehdi.A m'a convoqué pour participer a l'IMO 2012 il m'a dit qu'il y a un manque de participants . et mabghitch n7achmou je veux avoir plus de 40 points a 'LIMO

7outa , tu racontes des histoires n'est ce pas? 2a nichan, rak khréjti flmra7! je te l'ai dit et je te le redis pour la nième fois:" tu ne vas pas participer l'année prochaine ", seul le kenitrai va représenter le Maroc, toi tu vas aider 7ayat jarraya à nous préparer l7out ! de plus , les participants à l'IMO doivent avoir moins de 97 ans ainsi tu ne pourras pas participer grand mère ! et comme dit le vieux fameux proverbe tatadien: (de maniorita , Saka.A é tchibiiiiiiiiiiiiilli ) : fais gaffe ; Houta.A machadaaaach!
@SarakZit :attention attention! pale

le fameux proverbe dial lmoghrib dit:

Spoiler:

INTAHA

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