TDM - Test 3 - Problème 1

Problème .
Déterminer tous les entiers pour lesquels le nombre est un carré parfait.

Auteur du Problème : Inconnue

Salut à tous, j'ai résolu cet exo, mais après, j'ai constaté que j'ai fait une erreur (0 est une solution et moi j'ai trouvé aucun), voilà ma réponse et c'est à quelqu'un de me dire où est ma faute.

Ma réponse pour problème 1:

Soit n un entier,

n²+n+1 est un carré parfait <=> Il existe un entier p tel que: n²+n+1=p²

<=> 4n²+4n+4=4p² <=> (4n²+4n+1)-4p^2=-3

<=> (2n+1)²-4p²=-3 <=> (2n+1-2p)(2n+1+2p)=-3

Soit D_3 l'ensemble des diviseurs de -3, on a: D_3={-3,-1,1,3}

Revenons à notre problème, on a donc:

n²+n+1 est un carré parfait <=>(2n+1-2p)(2n+1+2p)=-3

<=> (2n+1-2p=-3 et 2n+1+2p=-1) ou (2n+1-2p=3 et 2n+1+2p=1) ou (2n+1-2p=-1 et 2n+1+2p=-3) ou (2n+1-2p=1 et 2n+1+2p=3)

<=> (2n-2p=-4 et 2n+2p=-2) ou (2n-2p=2 et 2n+2p=0) ou (2n-2p=-2 et 2n+2p=-4) ou (2n-2p=0 et 2n+2p=2)

<=> (n-p=-2 et n+p=-1) ou (n-p=1 et n+p=0) ou (n-p=-1 et n+p=-2) ou (n-p=0 et n+p=1)

<=> (n-p+n+p=-2-1) ou (n-p+n+p=0+1) ou (n-p+n+p=-1-2) ou (n-p+n+p=1+0)

<=> (2n=-3) ou (2n=1) ou (2n=-3) ou (2n=1)

<=> n=-3/2 ou n=1/2 n=-3/2 n=1/2

Donc il n'existe pas un entier pour que n^2+n+1 soit un carré parfait.


Faux !

ali-mes a écrit:

n²+n+1 est un carré parfait <=>(2n+1-2p)(2n+1+2p)=-3

<=> (2n+1-2p=-3 et 2n+1+2p=-1) ou (2n+1-2p=3 et 2n+1+2p=1) ou (2n+1-2p=-1 et 2n+1+2p=-3) ou (2n+1-2p=1 et 2n+1+2p=3)

(2n+1-2p)(2n+1+2p)=-3
Alors ça doit être plutôt: 2n+1-2p=3 et 2n+1+2p=-1 ou l'inverse...

Elle se fait en une ligne si je ntrompe pas .

Si n =0, 1 est un carré parfait.
Si n>0, alors n^2<n^2+n+1<(n+1)^2 alors la seule solution est n=0.

Je comprend ma faute, c'était un peu bête de ma part

Bonjour
si n es positif: n²<n²+n+1=<(n+1)² avec égalité si n=0

si n est négatif: (n+1)²=<n²+n+1<n² avec égalité si n=0

...Il fallait préciser est-ce n un entier naturel ou relatif alors,,,non?

Un entier est peut-être naturel ou relatif.

-1 marche aussi

Nayssi a écrit:

-1 marche aussi

Omens a écrit:

Bonjour
si n es positif: n²<n²+n+1=<(n+1)² avec égalité si n=0

si n est négatif: (n+1)²=<n²+n+1=<n² avec égalité si n=0

Oui tu as raison, je n'ai pas fait attention au cas d'égalité (n=-1) (inégalité droite) lorsque n est négatif

Je l'ai travaillé en tant que n entier positif. C'est ce qu'on habitué .

M.Marjani a écrit:

Je l'ai travaillé en tant que n entier positif. C'est ce qu'on habitué .

Moi aussi, vu que "n" provient de "naturel" c'est à dire entier naturel, même si on ne l'a pas précisé dans l'énoncé.
Je me demande si c'est un piège xD...

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_relatif

Moi aussi je l'ai résolu juste dans le cas de n positif

Normalement on doit étudier les deux cas ce qui nous donnera :

n²=<n²+n+1=<(n+1)² <=> n=<racine(n²+n+1)=<n+1

et on trouvera , en résolvant les équations, racine(n²+n+1) = n et racine(n²+n+1)=n+1

que S = {0};{-1}

Soit n de Z .
Trouvons alors tous les n de Z tel que n²+n+1=k² tel que k appartient a Z
On a 4n²+4n+1=4k²-3
alors (2n+1)²=4k²-3
Ainsi (2k+2n+1)(2k-2n-1)=3
Puisque k et n appartiennent a Z alors 2k+2n+1 et 2k-2n-1 le sont aussi.
Alors soit (2k+2n+1=1 et 2k-2n-1=3) ou (2k+2n+1=3 et 2k-2n-1=1)
Ou (2k+2n+1=-1 et 2k-2n-1=-3) ou (2k+2n+1=-3 et 2k-2n-1=-1)
[parce que les diviseurs de 3 en Z sont 1 et -1 et 3 et -3]
Alors n=-1 ou n=0 ou n=0 ou n=-1
Ainsi n=0 ou n=-1
Reciproquement , 0 et -1 sont les seuls solutions pour que n²+n+1 soit un carre parfait tel que n £ Z