Petit exercice de géométrie :)

Bonjour,

Aujourd'hui j'étais entrain de résoudre un exercice déjà présenté cette année dans les olympiades de 1ère,

Et j'ai utilisé l'idée de l'exercice pour faire celui ci, j'espère que vous allez l'apprécier:

Soit ABC un triangle acutangle, et (C) son cercle circonscrit de centre O.

On dessine les cercles (C_1) et (C_2) et (C_3) de centres respectives O_1, O_2 et O_3 tel que:

- (C_1) est tangente intérieurement au cercle (C) dans A, et tangente au côté (BC) dans A_1.

- (C_2) est tangente intérieurement au cercle (C) dans B, et tangente au côté (AC) dans B_1.

- (C_3) est tangente intérieurement au cercle (C) dans C, et tangente au côté (AB) dans C_1.

Montrer que les droites (AA_1), (BB_1) et (CC_1) sont concourantes.

Pas de réponses ??

X est le centre de gravité non ??

Nopu !

tu peux poster votre solution monsieur ali.

geom a écrit:

tu peux poster votre solution monsieur ali.

Je posterai ma solution après 1heure Inchalah.

Spoiler:

ali-mes a écrit:

geom a écrit:

tu peux poster votre solution monsieur ali.

Je posterai ma solution après 1heure Inchalah.

Spoiler:

hhhhhhhh Olah Ila J'ai doté de ce cercle inscrit hhhh j’essaie après tarawi7 inchalah

Comme promis, voici la réponse:



On note B_2 la deuxième intersection du cerle (C_1) avec le côté (AC).

Et C_2 la deuxième intersection du cercle (C_1) avec le côté (AB).

Dans le cercle (C_1) on a: .

Dans le cercle (C) on a: .

(C_1) est intérieurement tangent au (C) dans A donc: .

. Donc: .





(BC) est tangente à (C_1) dans A_1, donc: .

Et puisque , on conclut que: .

Et on a: .

De (1) et (2), on conclut que: .

.

Et on a:



.

Analogiquement on montre que:

.

Et: .

D'après la théorème de la bissectrice intérieure on a:

.

.

Donc d'après la théorème de Ceva, on conclut que (AA_1), (BB_1) et (CC_1) sont concourantes.

Or, on peut déduire le dernier résultat en utilisant le fait que les bissectrices intérieures des angles d'un triangle sont concourantes dans un seul point (le centre du cercle inscrit).

Merci à ceux qui ont pris la peine de lire ma preuve,

Et je vous en prie de me signaler si vous voyez une faute (d'innatention) - car je réponds sans brouillon -

J'attends vos remarques et observations.

c'est un joli solution, merci beaucoup monsieur ali.

geom a écrit:

c'est un joli solution, merci beaucoup monsieur ali.

Si tu es intéressé, je connais un exercice qui utilise la même propriété.

Je peux te le donner !

En effet, voici le test d'où j'ai pris l'idée de l'exo précédant: https://mathsmaroc.jeun.fr/t17823-cinquieme-olympiade-de-premiere-22-avril-2011

(Exercice 3)

oui je veux l'exercice dont tu as parlé, et merci d'avance

Voici l'exercice:

Soit ABC un triangle acutangle et (C) son cercle circonscrit de centre O.

On dessine un cercle (C') de centre O' tel que (C') est tangent à (C) dans A, et tangent au côté (BC) dans A_1.

On note:

- B_1 la deuxième intersection de (C') avec le côté (AC),

- C_1 la deuxième intersection de (C') avec le côté (AB),

- D la deuxième intersection de la droite (OO') avec (C'),

- E la deuxième intersection de la droite (EO') avec (C'),

- F l'intersection de (ED) avec (BO).


Montrer que:

Merci beaucoup pour les efforts monsieur ali.