Exercice:

Soient (C) un cercle de centre O.
Soient A et A' deux points de (C) diamètralement opposés.
Soient (D) et (D') les médiatrices respectives de (OA) et (OA').
Soit M un point de (C) différent de A et A'.
La médiatrice de [OM] coupe (D) et (D') en deux points notées respectivement P et P'.
LLes droites (AP) et (A'P') se coupent en un point noté I.
Montrez que:
i) I appartient à (C).
ii) Les points O, M, P, P' et I sont cocycloniques.
iii) M et I sont symétriques par rapport à la médiatrice de [AA'].
Bonne chance.

Solution :
i) Nous nous devons de montrer que I appartient à (C) soit angle{AIA'}=90.
Mais nous avons angle{POP'}=180-angle{POA}-angle{P'OA'}=180-angle{P'A'O}-angle{PAO}=angle{AIA'}. D'autre part nous avons P'A=P'O=P'M ainsi OP' est perpendiculaire sur MA' (puisque qu'elle est médiatrice) de même OP est perpenduclaire sur AM et puisque les deux droites AM et A'M sont perpendiculaires ainsi angle{POP'}=90 et ainsi angle{AIA'}=90 i.e : I appartient à (C).

ii) Nous avons angle{PMP'}=angle{PMO}+angle{OMP'}=angle{POM}+angle{MOP'}=angle{POP'}=90 et ainsi les quatres points M,P,O et P' sont cocyliques et puisque angle{AIA'}=angle{PIP'}=90=angle{PMP'} donc les cinq oints sont cocycliques.

iii) Cela est immédiat vu que la médiatrice de AA' passe par O et que OI=OM donc il suffit de prouver que MI est parallèle à AA'
Maintenant soit T le milieu de PP' il est bien clair que T est le centre du cercle circonscrit des cinq points P,M,I,Pi et O et puisque O est le cnetre de (C) et MI est l'axe radical de ces deux cercles alors TO est perpendicualire à MI. D'autre part nous avons PP'XY est un trapézoide droit ( il a deux angles droits) où X et Y sont les milieux de OA et OA' et ainsi puisque T et O sont milieux des deux côtés opposés alors TO est perpendiculaire sur AA' et ainsi AA' est parallèle à MI ce qui veut dire que la perpendiculaire passant par O ( la médiatrice de AA') est aussi perpendiculaire sur MI et puisque le triangle OIM est isocèle alors elle coupe en milieu.