petit exo

1)prouvez que (a+b)(a+c)(b+c)>8abc
par AM-GM a+b>2racine(ab) b+c>2racine(bc) a+c>2racine(ac)
en multipliant les trois termes le résultat en découle.
2)x²<x prouve que |x|=x
x²<x alors x(x-1)<0 donc 0<x<1 ce qui signifie que |x|=x

pour le 2éme voici une autre methode mais ta methode aussi est juste
x>x²
x²>0
x>0 donc |x|=x car x>0
c tres tres facile ok merci et je vais poser autres exo quans je les trouverai

x, y et z sont des nombres réels strictement positifs et tels que
xyz (x + y + z) = 1
Démontrer que (x + y) (y + z) > 2
bonne chance

(x+y)(y+z)>=2 <==> xy+xz+y²+yz>=2 <==> x²yz+x²z²+xy²z +xyz² >=2xz <==>1+x²z²>=2xz Ce qui est vrai selon AM-GM.

ok mais voici ma reponse (x+y)(y+z)>2
xy+xz+y²+yz>2
y(x+y+z)+xz>2
1/xz+xz>2
ce qui est vrai selon AM-GM

salimreda a écrit:

ok mais voici ma reponse (x+y)(y+z)>2
xy+xz+y²+yz>2
y(x+y+z)+xz>2
1/xz+xz>2
ce qui est vrai selon AM-GM

Et le cas d'égalité, tu l'as omis?

nn j'ai oublié ok le voila
ok mais voici ma reponse (x+y)(y+z)>=2
xy+xz+y²+yz>=2
y(x+y+z)+xz>=2
1/xz+xz>=2
ce qui est vrai selon AM-GM
alors maintanat c bien ??

nn j'ai oublié ok le voila
ok mais voici ma reponse (x+y)(y+z)>=2
xy+xz+y²+yz>=2
y(x+y+z)+xz>=2
1/xz+xz>=2
ce qui est vrai selon AM-GM
alors maintanat c bien ??

OK VOICI UN AUTRE EXO
a b c et d trois nombres reels
montrez que a²+b²+c²+d²>=(a+b)(c+d)

voilà la solution: selon AM-GM
a²+c²>=2ac ,b²+c²>=2bc ,a²+d²>=2ad ,b²+d²>=2bd
en ajoutant les 4 termes 2(a²+b²+c²+d²)>=2(a+d)(b+c)
donc a²+b²+c²+d²>=(a+b)(a+d)

Déterminer toutes les fonctions f définies de IR vers IR et vérifiant :
f (x) f (y) – f (xy) = x + y pour tout x et tout y de IR.

pour x=y=0 f²(0)-f(0)=0 alors f(0)=0 ou f(0)=1
pour x=0 y=1 on trouve que f(0)[f(1)-1)=1 ce qui veut dire qui f(0)#0 alors f(0)=1
pour x et y=0 f(x)f(0)-f(0)=x donc f(x)=x+1
réciproquement f(x)=x+1 vérifie l'équation.

mohamed diai a écrit:

pour x=y=0 f²(0)-f(0)=0 alors f(0)=0 ou f(0)=1
pour x=0 y=1 on trouve que f(0)[f(1)-1)=1 ce qui veut dire qui f(0)#0 alors f(0)=1
pour x et y=0 f(x)f(0)-f(x)=x donc f(x)=x+1
réciproquement f(x)=x+1 vérifie l'équation.

Une toute petite faute de frappe :p c'est plutôt f(0) ici.

oh merci c'est édité

RESOUD DANS IR le systeme
x^3+x²=2
x²+xy+y²-y=0

x^3+x²-2=0 équivalent à (x-1)[(x+1)²+1]=0 donc x=1
en remplacant x de sa valeur dans la deuxième équation du système y²=-1 ce qui est impossible donc S={ensemble vide }

tres bien

a-b=1
démontrez que a^3-b^3>1/4

contre exemple a=1/2 et b=-1/2 (il faudrait mettre a^3-b^3>=1/4)

oui
a-b=1
démontrez que a^3-b^3>=1/4

on a b=a-1 donc a^3-b^3-1/4=a^3-(a-1)^3-1/4
=3a²-3a+3/4
=3(a-1/2)²>=0
alors a^3-b^3>=1/4

voici une autre méthode
a^3-b^3=a²+ab+b²=(a-b)²+3ab=1+3ab=1+3a(a-1)=3a²-3a+1=3(a-1/2)²+1/4>=1/4