Arithmétique sympas .

Prouvez que si n est pair :
n+1/sum{1}{n}(k^(n+1)) puis prouvez que sum{1}{n}(k)/sum{1}{n}(k^(n+1))

Salut darkpseudo,
Sympa très probablement, mais peu "challengeant", par contre.

Spoiler:

Pour un imo-iste certes , si tu as de bons truc à proposé je suis preneur . ( et fais signe de vie plus souvent) .
En attendant je te propose celui-ci prouver que dans l'anneau Z/nZ le cardinal de l'ensemble des élément vérifiant a^(k)=0[n] pour un certain k divise celui
des éléments non premiers avec n . ( plus généralement dans un anneau unitaire , l'ensemble des nilpotents divises l'ensemble des diviseurs de 0 ) .
Enjoy .

Dans Z/nZ, avec n=PI((p_i)^(alpha_i)) le nombre de nilpotents est PI(p_i) tandis que les diviseurs de zéro sont au nombre de (n-phi(n)-1). Mais PI(p_i) | n-phi(n)-1 n'est pas toujours vraie

0 n'est ni nilpotent ni diviseur de 0 , le nombre des nilpotents est PI(p_i)-1 .

0 est nilpotent d'après ma définition mais quand bien même il ne le serait pas, on est toujours mal car ça ne marche pas pour n=40.

Je pense avoir trouvé ton erreur, l'ensemble des nilpotent dans Z/nZ n'ai pas toujours de cardinal PI(p_i) ( même tes erreurs sont subtiles ) ceci viens du fait qu'un nilpotent dans Z/nZ multiplié par un nombre premier ne divisant pas n est aussi nilpotent .
Mon erreur à moi et que dans l'énoncé on demande de prouvé que l'ensemble des nilpotents divise les diviseurs de 0 +1 ie dans Z/nZ n-phi(n) si je ne m'abuse encore une fois .

Au temps pour moi. Donc le nombre de nilpotents dans Z/nZ est n/PI(p_i) et à partir de là le résultat est immédiat.
Dans le cas général d'un anneau fini qu'on suppose commutatif, l'ensemble des diviseurs de zéro auquel on y ajoute l'unité multiplicative forme un sous-anneau commutatif de l'anneau initial, et est donc lui-même un anneau commutatif. L'ensemble des nilpotents en est un idéal (car l'anneau est commutatif) et donc un sous-groupe additif, et donc le résultat est une conséquence de Lagrange.
Pour le cas non commutatif, je cherche encore (et je me demande si le résultat est vrai ?).

Il y a un point ou je ne te suis pas la somme de deux diviseurs de 0 n'est pas forcément un diviseur de 0 même si l'anneau est commutatif ( exemple Z/6Z 2 et 3 , 2+3 est inversible ) , donc ce n'est pas un sous anneau , enfin sauf si j'ai raté un truc , l'ensemble des nilpotents est quand à lui bien un sous groupe additif de l'anneau . ( XD j'avais oublié de précisé que l'anneau est fini , pas besoin de commutativité je pense , mais tu peux déjà essayé de le prouvé pour un anneau unitaire fini et commutatif ) .
PS: c'est pas facile comme problème donc prend ton temps .

Tu as raison car aa'=0 et bb'=0 implique que (a+b)(a'b') = 0 (cas commutatif) mais pas pour autant que a+b est un diviseur de zéro (car a'b' peut être nul comme dans ton contre-exemple !)
Je vais suivre ton conseil et prendre mon temps .

Salut,
Dans Z/nZ, les diviseurs de zéro et les non inversibles sont les mêmes et il est alors beaucoup plus facile de conclure. Mais dans un anneau fini quelconque, je crois sérieusement que ça l'est moins.
Alors j'attends peut-être une indication de ta part
En outre, j'espère que tu es en pleine forme