deux e.v supplémentaires

Soit E un espace vectoriel de dimension fini n , soit f un endomorphisme de E tel que f^3+2f²+2f+Id=0
Montrer que Ker(f²+f+Id)+Ker(f-Id)=E

" le sympbole + designe ici la somme directe "
merci!

Tu veux dire : Le Criminel ??????

Appliquer tout simplement le lemme des noyaux (attention, Ker(f+Id)).

merci Dijkschneier , mais ce que j'ai cherché c'est une decomposition d'un vecteur de E , pour la montrer par la manière classique , car je sais pas encors ce lemme que tu viens de dire.
merci

La décomposition serait : x = (f²(x)+f(x)+x)+(-f²(x)-f(x))

merci encore

mais , ya une methode général pour determiner comme une telle une decomposition ?

Oui, il s'agit de trouver deux polynômes U et V tels que UP+VQ=1 pour P et Q donnés.

soit P(x)=x^3+2x^2+2x+1
P(f)=0 donc P est un polynome annulateur
D'autre part,P(x)=(x+1)(x^2+x+1),et on a (x+1) et (x^2+x+1) sont premiers entre eux
donc d’après le lemme de décomposition des noyaux,on a:
ker(P(f))=ker(f+id)+ker(f^2+f+id)
or P(f)=0 donc ker(0)=E=ker(f+id)+ker(f^2+f+1)
mouhaa@