exo3 olympiade

salut!
Soient Ox et Oy deux demi-droites formant un angle aigu.
On place un point M sur Ox, et deux points P et Q sur Oy, de telle sorte que
les angles OMP et QMx soient égaux.
La bissectrice de MPy recoupe Ox en T.
Montrer que QT est bissectrice de MQy.

Bonjourno Mlle Rim


On sait que: TQy=180°-OQT
=> TQy=2QMT+PMQ-OQT
=> TQy=2QMT+180°-(2TPQ+MPQ)-OQT
On sait que: 180°-OQT= TQy => TQy-TQy=2QMT-2TPQ-MQP
=> 2QMT-2TPQ-MQP=0 (1)
On voit que les deux triangles OPT et OMQ ont tous les deux le quadrilatére OMRP et se ressemble en MOP (OMRP serait un quadrilatére inscriptible). Considéron une cercle qui entoure les points M,T,P,Q:
Donc on a: MTP=MQP <=> TMR=QPR=OMP
Etd'aprés (1) on a: MQP=0°
MQP=0° <=> MPQ=180° => MPO=180°
Cela veut dire bien que: M£(Oy) (1)
De (1) et par M£(Oy) on résulte que: Ox==Oy (منطبقان)
La bissectrice de MPy recoupe Ox en T, ça veut dire donc que: [PT)==[QT). (A)
[PT) bissectrice de MPQ=180°, d'ou: [PT)_|_(Oy)
Donc: QT est bissectrice de MQy=180°.

CQFD.

Il y avait une petite error dans la figure, mtn c'est edité.

salam

je ne suis pas d'accord avec marjani
---------------------
solution:

pour simplifier la bissectrice de MPQ coupe PT en K

====> KQ est bissectrice de MQP

Notons :
x = mesure de OMP
y = mesure de MPK
z = mesure de PQK
t = mesure de MTK

dans le triangle MPQ:

2y + 2z + 180°-2x = 180° ======> z = x - y

dans le triangle MPT:

t + (180°-x) + y = 180° ======> t = x - y

--------------------
DONC : MTK = MQK
( deux angles inscrits égaux ) interceptant l'arc MK

or MK perpendiculaire à MT

====> M , T , Q , K sont sur le cercle de diamètre [KT]

=====> MQT = 90°

or KQ est déjà bissectrice de PQM ====> QT bissectrice du supplément MQY

-----------------------------------------------

BJR Mr houssa
Ou on se différe donc

salam marjani

2e ligne ...........+ MPQ .........

3e ligne ..............180°-2TPQ+MPQ.......

c'est plutôt .........180°-(2TPQ+MQP).....

houssa a écrit:

salam marjani

2e ligne ...........+ MPQ .........

3e ligne ..............180°-2TPQ+MPQ.......

c'est plutôt .........180°-(2TPQ+MQP).....

Salam

2e ligne Pk MPQ? 2QMT+PMQ=180°, je pense que c'est juste.
3 éme ligne: désolé, c'est une faute de frappe, c'est corrigé.
( En posant (PT) et (MQ) se coupent en une point R )

houssa a écrit:

salam

je ne suis pas d'accord avec marjani
---------------------
solution:

pour simplifier la bissectrice de MPQ coupe PT en K

====> KQ est bissectrice de MQP
Notons :
x = mesure de OMP
y = mesure de MPK
z = mesure de PQK
t = mesure de MTK

dans le triangle MPQ:

2y + 2z + 180°-2x = 180° ======> z = x - y

dans le triangle MPT:

t + (180°-x) + y = 180° ======> t = x - y

--------------------
DONC : MTK = MQK
( deux angles inscrits égaux ) interceptant l'arc MK

or MK perpendiculaire à MT

====> M , T , Q , K sont sur le cercle de diamètre [KT]

=====> MQT = 90°

or KQ est déjà bissectrice de PQM ====> QT bissectrice du supplément MQY

-----------------------------------------------

Il ya quelque chose qui cloche dans ta démonstration.
1/ KQ est bissectrice de MQP: Je pense pas que t'as utilisé les donées, Il n'ya pas (KQ) bissectrice de MQP, c'est plutot (PT) bissectrice de MPQ.
2/ Vérifier que t'as utiliser le point K non une autre.

salam

dans MPQ:
MK : bissectrice
PT : bissectrice = PK

====> 3e bissectrice : KQ

.

houssa a écrit:

salam

dans MPQ:
MK : bissectrice
PT : bissectrice = PK

====> 3e bissectrice : KQ

.

Comment ça ? Si vous voyez bien les données + ma figure, tu trouve que PT qui est le seul bissectrice.

salam

Lire le début de ma solution.

"KQ est bissectrice de MQP" n'est pas mensioné aux donées, donc t'as posé que KQ est bissectrice de MPQ?

+Si vous pouvez m'expliquer ce passage:
dans le triangle MPQ:
2y + 2z + 180°-2x = 180° ======> z = x - y

Merci Mr Houssa pour votre temps.

salam

dans MPQ

MPQ + PQM + PMQ = 180°

2y + 2z + (180°-2x) = 180°
.

houssa a dit:
3e bissectrice : KQ.
Et M.Marjani a dit:
OMRP serait un quadrilatére inscriptible.
Pour marjani: pas forcément.
Et pour houssa: pourquoi?
Pouvez-vous m'éclairer tant?
Je demande à houssa de rédiger encore une fois la partie concernant les bissectrices, car celle-la me fait le vertige.
Et merci.

salam

pas de vertige !!

dans le triangle MPQ:

(PT) =(PK) : une bissectrice donnée par l'énoncé

(MK) : bissectrice construite par moi

AUTOMATIQUEMENT : (KQ) est la 3e bissectirice.

......................................

houssa a écrit:

salam
pas de vertige !!
dans le triangle MPQ:
(PT) =(PK) : une bissectrice donnée par l'énoncé
(MK) : bissectrice construite par moi
AUTOMATIQUEMENT : (KQ) est la 3e bissectirice.
......................................

J'ai révisé votre methode.
Il n'y a rien à ajouter, tout est clair maintenant.
Merci.

Salam;

Bien entendu, MTQP est inscriptible! Car TOQ<90° les points M,T,P,Q sont inscrit dans une cercle + deux angles de ce dérnier entoure l'arc MP.
OPT et OMQ Ressemblables ==> (Angles) OMQ=OPT
Deux angles égaux dans ce quadrilatére, automatiquement OMRP serait un quadrilatére inscriptible.

M.Marjani a écrit:

Salam;

Bien entendu, MTQP est inscriptible! Car TOQ<90° les points M,T,P,Q sont inscrit dans une cercle + deux angles de ce dérnier entoure l'arc MP.
OPT et OMQ Ressemblables ==> (Angles) OMQ=OPT
Deux angles égaux dans ce quadrilatére, automatiquement OMRP serait un quadrilatére inscriptible.

Pourquoi ce qui est en rouge est-il vrai?
Merci de m'éclairer encore.

houssa a écrit:

salam

dans MPQ

MPQ + PQM + PMQ = 180°

2y + 2z + (180°-2x) = 180°
.

Mr Houssa s'est trompé de juger que 2y+2z+(180°-2x)=180°

On sait que: TQy=180°-OQT
=> TQy=2QMT+PMQ-OQT
=> TQy=2QMT+180°-(2TPQ+MPQ)-OQT
On sait que: 180°-OQT= TQy => TQy-TQy=2QMT-2TPQ-MQP
=> 2QMT-2TPQ-MQP=0
Donc: -2x+2y-z=0 méme pas 2y + 2z + (180°-2x) = 180°.

ERREUR 3e ligne

tu as remplacé PMQ par 180° - ( 2TPQ + MPQ)

il fallait écrire : 180°-( 2TPQ + MQP)

.c'est ensuite corrigé d'accord

mais à la fin

c'est : (2z +2y) -2y -2z = 0 qui est VRAI.

.

houssa a écrit:

ERREUR 3e ligne

tu as remplacé PMQ par 180° - ( 2TPQ + MPQ)

il fallait écrire : 180°-( 2TPQ + MQP)

.c'est ensuite corrigé d'accord

mais à la fin

c'est : (2z +2y) -2y -2z = 0 qui est VRAI.

.

Ok bienvu, j'ai voullait utiliser les autres angles égaux.