devoir maison

-1)démontrez que l'equation : x^20=1+x^10 admet au moins deux solutions opposés dans IR
quel est le nombre de solution de l'equation?

-2)f est continue sur [0;1] et strictement croissante tel que f([0;1])=[0;1],démontrez qu'il existe au moins c appartenant à [0;1] tel que f(c+1/2)=f(c)+1/2

-3)Calculez Sn = sigma variant de k=0 jusqu'à n d'Arctan(1/(k²+k+1)]
puis limx->+oo Sn

-4)Résoudre (E):Arctan 1/x + Arctan([(x-1)/(x+1)]=pi/4


-5)n est un entier tel que n>=1 soit fn tel que
fn(x)=x^n+9x²-4 definie sur IR+

a) démontrez que l'équation fn(x) admet une seule solution dans IR+ (Soit alpha n)
b-démontrez que quelquesoit n>=1 ; alpha n appartient à ]0:2/3[
c-quel est le signe de fn+1(x)-fn(x) sur ]0;1[ puis définir la monotonie de la suite alpha n
d- démontrez que la suite alpha n est convergente
e-calculez lim n->+oo (alphan)^n puis limx->0 (alpha n)

1)on a x^20=1+x^10<=>(x^10-1/2)²=5/4<=>x^10=(V5+1)/2
................................................................<=>x=((V5+1)/2)^(1/10) ou x=-((V5+1)/2)^(1/10)

yasserito a écrit:

1)on a x^20=1+x^10<=>(x^10+1/2)²=5/4<=>x^10=(V5-1)/2
................................................................<=>x=((V5-1)/2)^(1/10) ou x=-((V5-1)/2)^(1/10)

c'est un - non ?

oui je vais rectifier et j'essairai de poster la solution des autres exos quand j'aurai le temps..

merci ! ça urge un peu car c'est pour le vendredi si tu pourrais bien vite m'aider merci ^^

2)supposons que f(0)=/=0 alors f(0)>0 ainsi qq soit x>=0 on a f(x)>=f(0)>0 alors f(x)>0
ainsi f([0,1])=/=[0,1] car il n'existe aucun c de [0,1] tel que f(c)=0.Contradiction!
Alors f(0)=0
de meme supposons que f(1)=/=1 alors f(1)<1 ainsi qq soit 0=<x<=1 on a f(x)<=f(1)<1 alors f(x)<1 ainsi f([0,1])=/=[0,1] car il n'existe aucun d de [0,1] tel que f(d)=1.Contradiction!
Alors f(1)=1
Considerons maintenant la fonction h definie sur [0,1/2] tel que:h(x)=f(x+1/2)-f(x)-1/2
h est continue sur [0,1/2] et h(0)=f(1/2)-1/2 et h(1/2)=1/2-f(1/2) ainsi h(0)h(1/2)<=0. et on conclut ...
sauf erreur

emm. Pour le 3eme exercice limx->+oo Sn ! (On a pas de x dans Sn) tu veux dire n ou koi?

oui n exactement

pour le premier exo , elle a 2 solutions j'met ?

oui c ca je crois,sinon pour l'exercice 2 y'a pas de probleme mtn,j'ai po fais des fautes?

3)Demontrons que pour tout a£[-1,1] et b£]-1,1[ on a :

Arctan(a)+Arctan(b)=Arctan((a+b)/(1-ab)) (1)

deja on a puisque a£[-1,1] et b£]-1,1[ :Arctan(a)£[-TT/4,TT/4] et Arctan(b)£]-TT/4,TT/4[

Alors (Arctan(a)+Arctan(b))£]-TT/2,TT/2[

Alors (1) est equivalente a tan(Arctan(a)+Arctan(b))=tan(Arctan((a+b)/(1-ab)))

qui est equivalente a (a+b)/(1-ab)=(a+b)/(1-ab) qui est tjrs vrai.

Alors on a pour tout a£[-1,1] et b£]-1,1[ on a:Arctan(a)+Arctan(b)=Arctan((a+b)/(1-ab)

prenons a=1/k et b=-1/(k+1) tel que k>=1 alors a£[-1,1] et b£]-1,1[.

on a alors Arctan(1/k)+arctan(-1/(k+1))=arctan(1/(k²+k+1)) ( facile a verifier)

ainsi Sn=arctan(1)+arctan(-1/2)+arctan(1/2)+arctan(-1/3)......+arctan(-1/(n+1))

alors Sn=arctan(1)-arctan(1/2)+arctan(1/2)-arctan(1/3).......-arctan(1/(n+1))

ainsi Sn=TT/4-arctan(1/(n+1))

alors lim(n->+oo)Sn=TT/4-0=TT/4.

Sauf erreur.

oui c'est juste j'ai réussis à le faire celui là xD désolé de t'importuner maintenant il me reste les deux derniers

Pour la quatrième question suffit de faire entrer la tangente et de vérifier les solutions (surtout leur signe).
Pour la cinquieme j'ai une question : Pr la question a l'equation fn(x) ! j'ai pas compris veux tu dire l'equation fn(x)=0 ou quoi? et dsl.

f indice n de (x)

oui je sais mais de quelle equation tu parles?

x^n +9x² -4