Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)

Comme l'indique son nom , ce sujet a pour but d'organiser un jeu pour bien se préparer aux olympiade,les règles ne sortent pas du commun :
1/ chaque problème posté devrai avoir un numéro.
2/ Les Solutions devrai être en spoiler .
3/ chaque participant ayant donné une solution à un précédent problème doit se charger de proposer un nouveau problème.si quelqu'un arrive à trouver une solution sans avoir un nouveau exercice qu'il indique pour que quelqu'un d'autre le fait .
4/ De préférence les énoncés et les solutions devraient être rédigé en Latex
5/ Ne pas poster un nouveau problème avant qu'une solution de l'ancien soit posté (sauf si un problème dépasse 4 jours sans être résolu )
Finalement, j’espère que votre participation serra serra la plus fructueuse.
J'attend vos remarques.
exercice N1
Trouver tous les entiers premiers (a,b,c) tel que :

good luck .

Solution pour problème 1:
On suppose que a>=b>=c
ab+ac+bc>abc <==> 1/a + 1/b + 1/c >1
Donc 3/c >= 1/a + 1/b + 1/c > 1
Pour c>=3 Il n’existe aucune solution.
Pour c=2
1/a + 1/b + 1/c= 1/a+ 1/b +1/2 >1 <==>1/a+ 1/b > 1/2
-----Pour b>=5 2/5>= 1/a + 1/b il n'existe aucune solution
.......Pour b=3
1/a + 1/b + 1/c= 1/a+ 1/3 + 1/2 =>1/a >1/6 <==> a€{3;5}
......Pour b=2
1/a + 1/b + 1/c=1+1/a donc a€P tel que P est l ensemble des premiers positifs.
Solution:
(p,2,2) et ses permutations avec p€P et (3,3,2);(3;5;2) et leurs permutations

Problème2:
Soient a;b et c des réels positifs tq: a+b+c=1
Prouver que:

Oui juste

autre Solution pour exo 2 sans Jensen :

Spoiler:

à toi Mehdi

Puisque personne n'a posté un exo . Je poste un:
Problème 3 :

Spoiler:

Bonne chance.

Solution 3:
Lemme:

Démonstration:

Ce qui est vrai avec égalité ssi x=2.
Donc:

Il suffit donc de prouver que:


Ce qui est immédiat par I.AG.

Problème4:
Prouver que pour des entiers positifs m et n.
est divisible par . Si et seulement si n est divisible par

en applicaant ta lemme ta utilisé dans le dénominateur 1+x² , alors que ta lemme est pour 2+x²
je pense que ta solution est eronnée !

Misterayyoub a écrit:

en applicaant ta lemme ta utilisé dans le dénominateur 1+x² , alors que ta lemme est pour 2+x²
je pense que ta solution est eronnée !

C'est juste une faute de frappe.

Vous pouvez voir la solution du problème 4 ici

si expert-run le permet ,je vous propose un nouveau problème:
problème 5
trouver n tq : 2n-1 et 37n+1 soient deux carrés parfaits

Problème 6
Montrer qu'il n'existe qu'un nombre finie de triplets a,b,c d'entiers naturels tels que :

indice :

Spoiler:

Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Edit: Je n'ai pas b1 lire la question
Sauf erreu r
J'att la confirmation pour poster un nouveau exo

si tes démarches sont justes tu as terminer car tu as montrer que l'ensemble des solution(non vide car le triplet (3000,3000,3000)vérifie l'équation) est borné donc fini (car il est une partie de IN)

diablo902 a écrit:

Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo

j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .

boubou math a écrit:

diablo902 a écrit:

Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo

j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .

J'ai fais tchebyshev 2 fois ; la 1er (a+b+c)(1/a+1/b+1/c); la 2eme: (a+b+c)(1/c+1/b+1/a)
Alors Je l'ai résolu

Bonjour tout le monde , je vous propose ma solution :
Solution au probleme 6 : :



Et puisque le nombre de diviseurs de 1000^2 est un nombre fini , donc on aura plusieurs systeme a resoudre , des systemes qui sont finis biensur , par conséquent on aura un nombre de solution fini aussi . CQFD
sauf erreur .

diablo902 a écrit:

boubou math a écrit:

diablo902 a écrit:

Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo

j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .

J'ai fais tchebyshev 2 fois ; la 1er (a+b+c)(1/a+1/b+1/c); la 2eme: (a+b+c)(1/c+1/b+1/a)
Alors Je l'ai résolu

pourrais tu terminer la 2 eme

Misterayyoub a écrit:

Bonjour tout le monde , je vous propose ma solution :
Solution au probleme 6 : :



Et puisque le nombre de diviseurs de 1000^2 est un nombre fini , donc on aura plusieurs systeme a resoudre , des systemes qui sont finis biensur , par conséquent on aura un nombre de solution fini aussi . CQFD
sauf erreur .

l'existance d'un entier d tel que

est a prouver.
De plus , à la fin tu as prouver que le nombre de solution d est finie et non pas b et c
donc il te reste à prouver que pour d fixé l’équation :

admet un nombre finie de solution .