Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)

Maître Nombre de messages : 139 Age : 30 Date d'inscription : 26/02/2011

boubou math a écrit:

diablo902 a écrit:

boubou math a écrit:

diablo902 a écrit:: Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo

j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .

J'ai fais tchebyshev 2 fois ; la 1er (a+b+c)(1/a+1/b+1/c); la 2eme: (a+b+c)(1/c+1/b+1/a)
Alors Je l'ai résolu

pourrais tu terminer la 2 eme

c'est juste ce qu'il a fait , en ce qui concene la deuxieme application de chebyshev il a inversé l'ordre parce que c l'application dans l'autre sens ( c>b>a) ( 1/c<1/b<1/a) , donc voila ca va lui donner son résultat voulu , sinon qu'en pensez vous de ma sol ?

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Misterayyoub a écrit:

boubou math a écrit:

diablo902 a écrit:

boubou math a écrit:

diablo902 a écrit:: Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo

j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .

J'ai fais tchebyshev 2 fois ; la 1er (a+b+c)(1/a+1/b+1/c); la 2eme: (a+b+c)(1/c+1/b+1/a)
Alors Je l'ai résolu

pourrais tu terminer la 2 eme

c'est juste ce qu'il a fait , en ce qui concene la deuxieme application de chebyshev il a inversé l'ordre parce que c l'application dans l'autre sens ( c>b>a) ( 1/c<1/b<1/a) , donc voila ca va lui donner son résultat voulu , sinon qu'en pensez vous de ma sol ?

ça va donner encore a+b+c>=9000 --'

Maître Nombre de messages : 139 Age : 30 Date d'inscription : 26/02/2011

boubou math a écrit:

Misterayyoub a écrit:: Bonjour tout le monde , je vous propose ma solution :
Solution au probleme 6 : :

$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$

Et puisque le nombre de diviseurs de 1000^2 est un nombre fini , donc on aura plusieurs systeme a resoudre , des systemes qui sont finis biensur , par conséquent on aura un nombre de solution fini aussi . CQFD
sauf erreur .

l'existance d'un entier d tel que
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$
est a prouver.
De plus , à la fin tu as prouver que le nombre de solution d est finie et non pas b et c
donc il te reste à prouver que pour d fixé l’équation :
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$
admet un nombre finie de solution .

Aller boubou-maths , puisque le nombe de d est finie donc le nombre de b et c l'est aussi , tu n'as qu'a faire la meme demarche pour y arriver ,
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$

Spoiler:

Maître Nombre de messages : 123 Date d'inscription : 29/06/2011

oui c'est vrai ,il faut prouver que b+c/bc ...

Maître Nombre de messages : 139 Age : 30 Date d'inscription : 26/02/2011

az360 a écrit:

Spoiler:

En effet ma solution est éronnée , d appartient a Q , il ne peux pas appartenir a N pour la simple raison , si l'on prend b=c=3 , on a 1/b + 1/c = 2/3 et pas 1/d , donc voila ! je vvais penser a une autre methode
Amicalement Smile

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

Misterayyoub a écrit:

az360 a écrit:

Spoiler:

En effet ma solution est éronnée , d appartient a Q , il ne peux pas appartenir a N pour la simple raison , si l'on prend b=c=3 , on a 1/b + 1/c = 2/3 et pas 1/d , donc voila ! je vvais penser a une autre methode
Amicalement Smile

oué,la solution de diablo902 semble aussi erronée.

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Ok; Je cherche une autre en utilisant les inego aussi Wink

Dernière édition par expert_run le Sam 12 Nov 2011, 16:28, édité 1 fois

Solution pour le problème 6:
Par symétrie , on suppose que a=<b=<c
Donc 1/a +1/b +1/c =<3/a ainsi a=<3000 ( a admet un nombre fini de valeurs)
Pour a fixe:
1/a+1/b+1/c =< 1/a+2/b donc a=<b=<[2a/(1000a-1)] (b admet un nombre fini de valeurs)
Donc pour chaque valeur de a ;b admet un nombre fini de valeurs .
Pour a et b fixe il est facile de déduire que c admet une seule valeur.
Ainsi il n'existe qu'un nombre fini de triplets.

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

expert_run a écrit:: Solution pour le problème 6:
Par symétrie , on suppose que a=<b=<c
Donc 1/a +1/b +1/c =<3/a ainsi a=<3000 ( a admet un nombre fini de valeurs)
Pour a fixe:
1/a+1/b+1/c =< 1/a+2/b donc a=<b=<[2a/(1000a-1)] (b admet une infinité de valeurs)
Donc pour chaque valeur de a ;b admet un nombre fini de valeurs .
Pour a et b fixe il est facile de déduire que c admet une seule valeur.
Ainsi il n'existe qu'un nombre fini de triplets.

pr ce qui est rouge,je pense que c'est juste une faute de frappe sinon la solution est bonne.
à toi expert_run

ah oui faute de frappe

Problème 7:
On considère un trapèze ABCD et on suppose qu'il existe un point E de la grande base [AD] tel que les périmètres des triangles ABC;BCE et CDE sont égaux.
Démontrer que BC=1/2 AD

expert_run a écrit:: Problème 7:
On considère un trapèze ABCD et on suppose qu'il existe un point E de la grande base [AD] tel que les périmètres des triangles ABC;BCE et CDE sont égaux.
Démontrer que BC=1/2 AD

ABE non ?! scratch

non c est ABC.

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

expert_run a écrit:: Problème 7:
On considère un trapèze ABCD et on suppose qu'il existe un point E de la grande base [AD] tel que les périmètres des triangles ABC;BCE et CDE sont égaux.
Démontrer que BC=1/2 AD

Les bases sont [AD] et [BC] ??

Maître Nombre de messages : 279 Age : 27 Date d'inscription : 01/07/2011

Une autre solution du problème 6 plus courte ici

boubou math a écrit:

Solution du Problème 5

Spoiler:

Si a²=1[5] et b²=4[5] alors a²-b²=2[5]. C'est contradictoire avec ce qui est ecrit en rouge n'est ce pas?

Solution au problème 5:

On a 2n-1=a² et 37n+1=b² et que a et b et n de Z.
On a alors a impaire alors a=2k+1 tel que k de Z
Ainsi on a n=2k²+2k+1 ainsi n est impaire car si k=0 ainsi a=1 ainsi n=1 et ainsi b²=38 impo.
On a alors 37n+1 est paire alors b est paire ainsi b=2c tel que c de Z
et ainsi 37(2k²+2k+1)+1=4c² ainsi 37(k²+k)+19=2c²
On a k²+k est paire alors 37(k²+k)+19 est impaire et on a 2c² est paire. (impossible)
Donc il n'existe aucun n de Z tel que 2n-1 et 37n+1 sont deux carres parfaits.
sauf erreur .

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 29 Date d'inscription : 23/12/2010

yasserito a écrit:

boubou math a écrit:

Solution du Problème 5

Spoiler:

Si a²=1[5] et b²=4[5] alors a²-b²=2[5]. C'est contradictoire avec ce qui est ecrit en rouge n'est ce pas?

oué

Salut , En attente d une solution a l'exercise 5 je propose cet exercise
Exercise 6:
Soit (C1) et (C2) deux cercles tangentes intérieusement en un point A , de rayon respectifs R1 et R2 tel que R2=(3/4)R1 et soit M un point de (C2) tel que M differente de A
La tangente à (C2) en M coupe (C1) en P et Q .
Montrez que PQ= 1/2 (AP+AQ) bonne chance Very Happy

Dernière édition par boubou math le Jeu 12 Jan 2012, 20:05, édité 2 fois

SOLUTION DU PROBLÈME 6

Spoiler:

Spoiler:

CORDIALEMENT

https://mathsmaroc.jeun.fr/t16954p15-marathon-de-geometrie (Problème 7)
https://mathsmaroc.jeun.fr/t7553p15-test-n1-stage-du-rabat-25-29-01-2008-olympiade-2008#157398 (Problème 4)

Une autre idée pour faire la deuxième partie du problème (Sans l'utilisation de l'homothétie) est de remarquer que (O'S)||(OQ) et (O'R)||(OP) et d'appliquer Thalès + la puissance d'un point par rapport à un cercle. (D'après la figure de Mehdi.O)

Dernière édition par boubou math le Mer 04 Jan 2012, 18:17, édité 1 fois

qu'elle est la solution du problème 2

salut a tous
voici la solution du problème 2

boubou math a écrit:: autre Solution pour exo 2 sans Jensen :
L'inégalité est symétrique , sans perte de généralité , supposons que
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$
ainsi on a
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$
avec Tchebychev
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$
d'une autre part
Ac C.S
$Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) - Page 2 Gif$
en remplaçant dans la premier inégo
on arrive a l'inégalité souhaité .
à toi Mehdi

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