Premier exercice :
on considère les deux fonctions f1 et f2 tel que f1(x)=(x-1)/(xVx -1) et f2(x)=[sin(2x-2)]/(x²+x-2)
1-montrez que la fonction f1 admet un prolongement par continuité en 1
2-on considère la fonction f tel que : f(x)=f2(x) ;-2<x<1 ; f(x)=f1(x) ; x>1 ; f(1)=2/3
etudiez la continuité de la fonction f en 1
Deuxième exercice :
On pose Pn(x)=(1+x)(1+x²)...(1+x^n)
et Un = lim x->1 [(1+x)(1+x²)....(1+x^n) -2^n]/(x-1)
1-calculez U1
2-démontrez que quelque soit n appartenant à IN* et quelque soit x appartenant à IR ;
P'n+1(x)=(x^n+1 +1)P'n(x)+(n+1)x^n Pn(x)
3-En déduire que quelque soit n appartenant à IN* ; Un+1 -2Un = (n+1)2^n
4-calculez la limite limx->1 [(1+x)(1+x²)...(1+x^n) -2^n]/(x-1)
Exercice 3 :
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle I=[TT/2;TT[
par f(x)=1 + 1/sin(x)
1-montrez que f est une bijection de I vers J qu'il faut déterminer
2-démontrez que quelque soit x appartenant à I ; f'(x)=[f(x)-1]V[f(x)²-2f(x)
3- démontrez que f^-1 est dérivable sur J
4-démontrez que quelsoit x appartenant à J ; (f^-1)'(x) = 1/(x-1)(Vx²-2x)
Exercice 4: Etudiez la monotonie de : quelque soit n appartenant à IN*
Un=1/(n+1) +1/(n+2) +...+1/(n+n)
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