Suite recurente

Boujour cher(e) matheux ca Fait longtemps que je vous ai visitez sur notre Forum
esperant que tt le monde va bien , en fait , j'ai un exo Modeste mais j'ai un petit doute dans une Question :

Soit f une fct definie par: f(x)=exp(x)/(x+2)

A)
a- Donner le domaine de Déf , et calcul de f' et f''
b- Dresser le T.variartion de f
c- Deduire f([0,1])
d- Montrer que x(apprtient)[0,1]on a :1/4<f'<2/3 .
e- Montrer qu'il existe un pt fixe de f Ds [0,1], qu'on notera "alpha"

B)Soit la suite recurente (Un)n definie par :
{U(n+1)=f(Un)
{U0[0,1]

a- Montrer que (Un)n est bornée
b- Montrer la relation suivante :
|U(n+1)-alpha|(2/3)|Un-alpha| ; n(apprtient) N
c- Déduire qua la suite (Un)n est Convergente et determiner sa limite .

Pour moi je veux la Question B)b- que j'ai un doute est ce qu'avec l'inégalité d'Accroissement Finis ??
Merci D'avance

Oui c'est exactement ça. tu utilises l'inégalité des accroissements finis, dès que tu vois point fixe et suite récurrente.

En effet,

|U(n+1)-alpha|=|f(Un)-f(alpha)| car alpha est un point fixe.

Or, par la partie A f' est majorée sur [0,1] par 2/3 et est positive.

et par la partie A aussi on montre que f([0,1]) est dans [0,1] donc U_n appartient à [0,1]

alpha aussi, et donc par l'inégalité des accroissements finis :

|f(Un)-f(alpha)| < 2/3 |U_n - alpha |

Surement Merci j'avais besoin Juste de bien savoir Les conditions
et merci encore