Olympiade TSM n°1 ( 2012 )

peux je avoir une solution breve de l'exercice 2 et 3?

Solution au deuxième problème :
On nomme a,b,c et d les quatres racines du polynome p(x), et on suppose qu'ils sont entiers.
Par Viète on obtient :
*)a+b+c+d=0
*)(a+b)cd+(c+d)ab=0
*)(a+b)(c+d)+ab+cd=-2011
*)abcd=n
Tout d'abord nous avons (a+b)=-(c+d) en remplacant dans la 2eme equation on retrouve (a+b)(ab-cd)=0
-> Si a+b=0 donc c+d=0 et ainsi a=-b et c=-d en remplacant dans la 3eme equation on trouve a²+c²=2011 celle-ci n'admet pas de solutions dans Z² ( en travaillant modulo 4).
-> Si ab=cd donc dans la 3eme equation on retrouve -(a+b)²+2ab=-2011 => a²+b²=2011 Contradiction. D'où l'inexistance de n.

Solution au problème 3 :
Soit P(x,y) l'assertion de l'EF.
P(x,1) : f(x-f(x))=xf(1-f(1)) d'où f est surjective ( en effet l'equation f(x)=y admet une solution qui est x=y/(f(1-f(1))-f(y/(1-f(1)).
Ainsi il existe un c de IR t.q : f(c)=0
P(c,1) : f(c-f(c))=cf(1-f(1))=0 => c=0
Ainsi f(x)=0 => x=0
P(0,y) : f(-f(0))=0 => f(0)=0
Aussi puisque f est surjective il existe un b de IR t.q : f(b)=1
P(x,1/b) : f(x-f(x/b))=0 => f(x/b)=x pr tt x de IR => f(x)=bx pr tt x de IR.
Mais nous avons b#0 puisque si b=0 nous aurons f(0)=1 et ainsi contradiction.
Aussi f doit vérifier la condition f(1-f(1))#0, ainsi si f(1-f(1))=0 => b=1
Ainsi b doit etre différent de 1.
En conclusion la solution de l'EF sont les fonctions afines f(x)=ax où a € IR*\{1}

Ah oui merci,mais l'exercice 2 ne dit pas que le polynome a 4 racines,il a juste di qu'il admet des racines entiers ,ca peut etre 2 ou 1 alors ....
pour le probleme 3 pour P(x,1/b) tu auras f(x-f(xb))=0 ...

Solution proposée a l'exercice 3:
Soit P(x,y) l'assertion de l'EF.
P(0,y): f(-f(0))=0 alors il existe un a de IR tel que f(a)=0
P(a,1): f(a-f(a))=af(1-f(1)) alors a=0
f(x)=0 => x=0 alors 1=/=0 =>f(1)=/=0
P(f(1),f(1)): 0=f(1)f(1-f(1/f(1))=>f(1/f(1))=1
P(xf(1),f(1)): f(xf(1)-f(x))=0 =>f(x)=xf(1) pour tout x de IR
On a f(1)=/=0 et f(1)=/=1 sinon 1-f(1)=0 ainsi f(1-f(1))=0(contradiction)
En posant f(1)=a
On a les solutions de l'EF sont les fonctions afines f(x)=ax où a € IR*\{1}.
sauf erreur.

yasserito a écrit:

Ah oui merci,mais l'exercice 2 ne dit pas que le polynome a 4 racines,il a juste di qu'il admet des racines entiers ,ca peut etre 2 ou 1 alors ....
pour le probleme 3 pour P(x,1/b) tu auras f(x-f(xb))=0 ...

Oui juste une faute de frappe pour le 3eme mais ca ne change rien en tous cas.
Pour le problème 2 : tout polynome de degré n admet n racines ( n.b : ils peuvent etre des complexes donc puisqu'ils ont dis toutes les racines sont des entiers cela veut dire l'existence de 4 racines entières ... )

Et pour le premier une idee??

AM-GM !
Pour une preuve alternative, regarde ici

pour le premier : c=(2a²+b²)^(1/2)/3
donc il faut démonter que :(2b+a) *(2a²+b²)^(1/2)/ab >3(3)^(1/2)
appliquer iag 2 fois donne l'inégalité... et il y a mieux .

pr le deuxieme exo c absurde un peu ! ca peut etre resolu juste en prouvant kil n'y a aucun carrée complet!!

wee,vrm c cela qui m'a troublé au cours de cet examen ,pourquoi mentionner ''n'' si dans la resolution de l'exercice il ne jouera aucun role...vrm absurde.Pour le premier ca peut etre resolu soit avec I.A.G ou C.S...

SVP! je voudrais savoir si par exemple ta eu une mauvaise note au premier test ; est ce que ta le droit de passer le 2 test pour que tu puisses te rattraper ? ou bien peut on t’exclure des olympiades des le 1 test ?

we,le tri des participants ne se fait qu'apres avoir passer les deux tests....

Merci yasser

Mehdi.O a écrit:

Solution au deuxième problème :
On nomme a,b,c et d les quatres racines du polynome p(x), et on suppose qu'ils sont entiers.
Par Viète on obtient :
*)a+b+c+d=0
*)(a+b)cd+(c+d)ab=0
*)(a+b)(c+d)+ab+cd=-2011
*)abcd=n
Tout d'abord nous avons (a+b)=-(c+d) en remplacant dans la 2eme equation on retrouve (a+b)(ab-cd)=0
-> Si a+b=0 donc c+d=0 et ainsi a=-b et c=-d en remplacant dans la 3eme equation on trouve a²+c²=2011 celle-ci n'admet pas de solutions dans Z² ( en travaillant modulo 4).
-> Si ab=cd donc dans la 3eme equation on retrouve -(a+b)²+2ab=-2011 => a²+b²=2011 Contradiction. D'où l'inexistance de n.

Solution au problème 3 :
Soit P(x,y) l'assertion de l'EF.
P(x,1) : f(x-f(x))=xf(1-f(1)) d'où f est surjective ( en effet l'equation f(x)=y admet une solution qui est x=y/(f(1-f(1))-f(y/(1-f(1)).
Ainsi il existe un c de IR t.q : f(c)=0
P(c,1) : f(c-f(c))=cf(1-f(1))=0 => c=0
Ainsi f(x)=0 => x=0
P(0,y) : f(-f(0))=0 => f(0)=0
Aussi puisque f est surjective il existe un b de IR t.q : f(b)=1
P(x,1/b) : f(x-f(x/b))=0 => f(x/b)=x pr tt x de IR => f(x)=bx pr tt x de IR.
Mais nous avons b#0 puisque si b=0 nous aurons f(0)=1 et ainsi contradiction.
Aussi f doit vérifier la condition f(1-f(1))#0, ainsi si f(1-f(1))=0 => b=1
Ainsi b doit etre différent de 1.
En conclusion la solution de l'EF sont les fonctions afines f(x)=ax où a € IR*\{1}

peut tu expliquer comment t'as fait ?

f(y/f(1-f(1))+f(y/f(1-f(1))=y ... Donc chaque nombre réel y admet au moins un antécédent qui est y/f(1-f(1))+f(y/f(1-f(1)) ce qui donne la surjectivité.

Mehdi.O a écrit:

f(y/f(1-f(1))+f(y/f(1-f(1))=y ... Donc chaque nombre réel y admet au moins un antécédent qui est y/f(1-f(1))+f(y/f(1-f(1)) ce qui donne la surjectivité.

mm...j'ai pas bien compris,pouvez vous m'eclaircir mieux?

yasserito a écrit:

Mehdi.O a écrit:

f(y/f(1-f(1))+f(y/f(1-f(1))=y ... Donc chaque nombre réel y admet au moins un antécédent qui est y/f(1-f(1))+f(y/f(1-f(1)) ce qui donne la surjectivité.

mm...j'ai pas bien compris,pouvez vous m'eclaircir mieux?

Je ne crois pas que je pourrais être plus clair ... f est surjective veut dire que l'équation f(x)=y pour tout y de IR admet au moins une seule solution x de IR, la solution que j'ai cité plus haut répond à la question donc f est surjective.

Ah oui ! excusez moi,J'avais un probleme de notation..

Expliquez moi svp pour l'exo 1 et 4 ?

Pour l'exercice 1 , il faut que tu eleves la puissance au carrée , apres tu remplace c² par sa valeur et puis tu n'as qu'a appliquer AM-GM , tout en ecrivant ( 2a² ) sous la forme de a²+a² voila .
Pour l'exercice 4 , fais une tres grande figure , une chasse d'angle approfondie fait l'affaire .

J'ai beau le faire J'arrive tjrs a une fin qui me sert a rien !

Oui sayé ! Et pour le 3 Jarrive po a comprendre ! Tu pourré m'expliquer stp ?

pour le 3eme , tu n'as qu'a regarder les posts précédants ! je pense que c'etait clair !

Non po pour moi ! Cmment il a demontré la surjectivité ? cmment il a pu ecrire x=......?