Olympiade de tronc commun [11-05-2012]

Bonsoir,
Voici la troisième phase des olympiades de tronc commun

Exercice 1:
ABCD un carré ( AB=2)

S: surface de cercle rouge
S": surface de l'espace orange ( l'intersection de 2 cercles C_4 et C_3)
1- Calculer 4 × S
2- Calculer 4 × S "

Exercice 2:
Résoudre dans


Exercice 3:
Prouver que pour tout

Exercice 4:
a,b 2 réels et f et g 2 fonctions tel que :
1-
Prouver que x=-b ou x=-a
2-
Prouver que a+b=0
Exercice 5:

Prouver que

Ma solution pour l'exercice 3:
On a quelque soit (x,y,z) de R^3
(xy+z)²>= 0 D'où: (xy)²+z²+2xyz>=0 (1)
On a aussi: (xz+y)²>= 0 d'où: (xz)²+y²+2xyz>=0 (2)
On a aussi: (x-2)²>=0 d'où: x²-4x+4 >= 0 (3)
Et en sommant (1), (2) et (3) on trouve: x²+y²+z²+4xyz-4x+(xy)²+(xz)² + 4 >= 0
On additionne 1 , notre inégalité devient donc: x²+y²+z²+4xyz-4x+(xy)²+(xz)²+5>=1 >0 D'où le résultat voulu !

P.S: C'est la troisième phase des olympiades de quelle ville s'il vous plait ?

Soukaina Amaadour a écrit:

P.S: C'est la troisième phase des olympiades de quelle ville s'il vous plait ?

La ville de Kenitra

Ma solution pour l'exercice 4:
(DSL je maitrise pas bien le latex)
1- On a f(x)=g(x)
Ceci est équivalent à: 1/(a+b+x)=1/x +1/a +1/b
D'où : 1/(a+b+x) -1/a=(x+b)/xb
D'où: (a-a-b-x)/a(a+b+x) = (x+b)/xb
D'où: -(x+b)/a(a+b+x) =(x+b)/xb
D'où: -1/a(a+b+x)=1/xb
d'où: -xb= a(a+b+x)
-xb=a²+ab+ax
Donc: a²+ab+ax+xb=0
D'où: a(a+x)+b(a+x) =0
Alors: (a+b)(a+x) =0
D'où: a=-b ( ce qui n'est pas vrai) ou a=-x !
Et de la même façon on trouve b=-x
Mais au lieu de mettre : 1/(a+b+x) -1/a=(x+b)/xb ; on mettra:
1/(a+b+x) -1/b= (x+a)/xa (...)

Exercice 2 :

Avec C.S : (x^3 +y^3) ( 1/x^3 + 1/y^3 ) >= 4 ( cas d'égalité si x=y )


1006 (1/x+1/y) = 1 =====> x=y=2012


S = { 2012 , 2012 }

alidos a écrit:

Exercice 2 :

Avec C.S : (x^3 +y^3) ( 1/x^3 + 1/y^3 ) >= 4 ( cas d'égalité si x=y )


1006 (1/x+1/y) = 1 =====> x=y=2012


S = { 2012 , 2012 }

faux a 3chiréé
et voila la correction :
l'equation 1 implique que : a + 1\a = 2 avec a = x^3\y^3
et donc : a = 1
ca implique que : x^3 = y^3 => x=y
on utilison l'equation 2 => x=y=2012

Exercice 5:
On a:
1/n(n+1)=(n+1-n)/n(n+1)=1/n-1/n+1
d'ouV(1+1/n²+1/(n+1)²)=V(1+1/n²+1/(n+1)²+2(1/n-1/n+1-1/n(n+1))
=V(1+1/n-1/n+1)²
=1+1/n-1/n+1
qu'on ecrira en extension jusqu'a n=2011 puis on somme le tt pour trouver le resultat recherche

pour l'exo 1 je propose cette solution:
pour S' on peut vite remarquer que le centre du cercle rouge est le miilieu de [CD] qu'on notera M
faut mnt juste calculer son rayon
soit P et Q les points d'intersection des cercles C1 et C4 avec [CD]
MP= (CD-(CP+QD))/2
=(CD-(2CD-CQ-DP))/2
=(2OC-CD)/2
=(AC-CD)/2
=(V2CD² -CD)/2
=V2-1 et puis conclure
Pour S'' on va travailler dans le triangle BOC
On a donc :
S''=2(2S(BOC)-S(C3)/4)
=2(S(ABCD)/2-S(C3)/4)
=2(AB²/2-AB²pi/4)
=2(2-pi)

@Lamperouge
On peut dèja remarquer que S"=2(2-Pi) <0

En plus, désolé, c'est faux .
-Premièrement Ce passage en bas en rouge est faux - S(C3) =(AB²/2)*Pi Et non AB²*Pi
-Deuxièmement La méthode est fausse dès le début (En vert) puisque S''=! 2(2S(BOC)-S(C3)/4)

lamperouge a écrit:

pour l'exo 1 je propose cette solution:
pour S' on peut vite remarquer que le centre du cercle rouge est le miilieu de [CD] qu'on notera M
faut mnt juste calculer son rayon
soit P et Q les points d'intersection des cercles C1 et C4 avec [CD]
MP= (CD-(CP+QD))/2
=(CD-(2CD-CQ-DP))/2
=(2OC-CD)/2
=(AC-CD)/2
=(V2CD² -CD)/2
=V2-1 et puis conclure
Pour S'' on va travailler dans le triangle BOC
On a donc :
S''=2(2S(BOC)-S(C3)/4)
=2(S(ABCD)/2-S(C3)/4)
=2(AB²/2-AB²pi/4)
=2(2-pi)

On doit trouver à la fin que S"= Pi - 2

Bon je propose cette solution au premier exercice:

On a selon Pytagores:
AC=V(AD²+DC²)
AC=2V2.

D'où: r1=V2

Et d'après la figure de l'exercice, on peut constater que d=r1/2
D'où : d=V2/2

Donc:r=V2/4

Donc S=r²*pi =1/8. pi
==> 4*S=1/2pi.

2- Soit P et O les deux points de l'intersection des deux cercles.

Considérons le triangle rectangle isocèle OCD.

On a OCD(^)=pi/4

D'où: OCB(^)=pi/4 ==> OCP (^)=pi/ 2

On peut on déduire que l'aire de la fraction (S"") du cercle OCP est égale à 1/4 S4 , Avec S4 la surface su cerle C4.
D'où: S""=1/4*pi*R(4)²
=1/2 pi.

Soit A , l'air du triangle ACP.

On a A=1/2*OC.CP.sin C^ =1.

D'où : 1/2*S"=S""-A=pi/2-1

D'où : S"=pi-2

Sauf erreur.

Soukaina Amaadour a écrit:

Et d'après la figure de l'exercice, on peut constater que d=r1/2
D'où : d=V2/2

Donc:r=V2/4
.

Notons que d est le diamètre du cercle rouge et r, son rayon.

Salut Soukaina
Alors Voilà pour ta solution de la première question je crois qu'il y a une erreur
En effet, d =! r1/2 et donc d =! V2/2
La bonne réponse à la première question est celle de 'Lamperouge'
Par contre ta réponse à la question 2 je n'arrive pas à la comprendre
je ne comprends ceci :

On peut on déduire que l'aire de la fraction (S"") du cercle OCP est égale à 1/4 S4

Amicalement

Ca c'est la fraction dont je parlais (en vert)
Et puisque l'angle ACP est droit (=pi/2) on peut en déduire que la suface de la fraction (ce qui en vert) est égale à 1/4 la surface du cercle S4.

Top-Math a écrit:

Salut Soukaina
Alors Voilà pour ta solution de la première question je crois qu'il y a une erreur
En effet, d =! r1/2 et donc d =! V2/2

Où est donc l'erreur. ?

P.S: ce que j'ai dessiné n'est pas correct. Je voulais juste te montrer ce que je voulais dire avec la fraction dont l'aire est de S"".
Amicalement .

Soukaina Amaadour a écrit:

Top-Math a écrit:

Salut Soukaina
Alors Voilà pour ta solution de la première question je crois qu'il y a une erreur
En effet, d =! r1/2 et donc d =! V2/2

Où est donc l'erreur. ?

Tu a dis que :

Soukaina Amaadour a écrit:

Et d'après la figure de l'exercice, on peut constater que d=r1/2
D'où : d=V2/2

Donc:r=V2/4

Bah Non ce qui est en rouge est faux

Certes que tu as raison pour la première question mais la deuxième je pense qu'elle est juste. NON ?

Oui, Oui T'inquiète pas ^^

Top-Math a écrit:

Oui, Oui T'inquiète pas ^^

Ouf, ça me soulage :p

allez soukaina propose un exo

Voici des exercices pr vous:

ex1: soit u,n,e,d,m,i,f,a,l,c des chiffres .Trouvez ces chiffres sachant que:

..........u n e
+.....d e m i
+.f i n a l e
___________
=f a c i l e

Et que chaque nombre ne peut commencer par un 0.

P.S:Pour réduire le nombre de solutions possibles j'ajoute une

condition:''a>=c>=d>=e....selon l'ordre alphabétique.''

ex2:Resoudre en IR l'equation x(2x-1)(x-2)(2x-3)=68

ex3:Resoudre en IR l'équation (2x^3+8x^2+2x-11)^(x^3-2x^2-5x+6)=1

ex4:Déterminez toutes les fonction de IR*+ vers IR qui vérifient:

f(x)f(y)=f(xy)+1/x+1/y

ex 5:soit a,b,c>0 tel que abc=1

M.Q: sum_cyc((a+b)/Vc)>=Va+Vb+Vc+3.

l'exercice un est faux ; x=y=z=t=0 par exemple

Oui,vous avez raison mais c'est ainsi que je l'ai trouvé ,je l'ai modifié par un autre .