Olympiade de tronc commun [11-05-2012]

Pour le 1 :

Avec ma méthode j'ai trouvé :

6 5 2
+ 7 2 4 8
+ 1 8 5 9 0 2
--------------------
= 1 9 3 8 0 2

Ce qui signifie que :
l=0 ; f=1 ; e=2 ; c=3 ; m=4 ; n=5 ; u=6 ; d=7 ; i=8 ; a=9

ex 2 : x = 1/4 (4 + rac (2Y) ) ou x =1/4 (4-rac(2Y) )


avec Y = 5+ rac 1997

@yasserito est ce que tu entends par numéros , des chiffres ? c'est a dire que 0=<u,f,n.... =<9 ?

Exo 3 :

(2x^3+8x^2+2x-11)^(x^3-2x^2-5x+6)=1 veut dire que
1-

x^3-2x²-5x+6=0
x^3-x²-(x²+5x-6)=0
x²(x-1)-(x²-1+5x-5)=0
x²(x-1)-((x-1)(x+1)+5(x-1))=0
x²(x-1)-(x-1)(x+6)=0
(x-1)(x²-x-6)=0
x=1 ou x=-2 ou x=3

2-
2x^3+8x²+2x-11=1
2x^3+8x²+2x-12=0
x^3+4x²+x-6=0
x^3-1+4x²-4+x-1=0
(x-1)(x²+x+1)+4(x-1)(x+1)+(x-1)=0
(x-1)(x²+5x+6)=0
x=1(déjà citée) ou x=-2 (déjà citée) ou x=-3

3-
2x^3+8x²+2x-11=-1
2x^3+8x²+2x-10=0
x^3+4x²+x-5=0

Quelque soient les solutions de cette équation, x^3-2x^2-5x+6 ne sera pas pair
Donc :

S={-3,-2,1,3}

Top-Math a écrit:

Exo 3 :

(2x^3+8x^2+2x-11)^(x^3-2x^2-5x+6)=1 veut dire que
1-

x^3-2x²-5x+6=0

Supposons que 2x^3+8x²+2x-11=-1 et x^3-2x²-5x+6 est pair ..
Votre solution n'est donc pas la seule .
Amicalement.

Soukaina,

Regarde bien ^^

Pour l'exercice n°4:

On a

Posons x=y=1

On obtient:

D'où: ou

On pose maintenant y=1
On en déduit :



1er cas: f(1)=2



2ème cas: f(1)=-1

Top-Math a écrit:

Soukaina,

Regarde bien ^^

J'avais fais une faute de frappe .. C'est édité.

ex 5 avec Muirhead !!

Que quelqu'un poste donc d'autres problèmes

l'exo (1) est encore sans solution .

Oty a écrit:

l'exo (1) est encore sans solution .

En résolvant un système d'équations on trouve

. . . . . . .6 5 2
+. . . ..7 2 4 8
+..1 8 5 9 0 2
--------------------
= .1 9 3 8 0 2

Ce qui signifie que :
l=0 ; f=1 ; e=2 ; c=3 ; m=4 ; n=5 ; u=6 ; d=7 ; i=8 ; a=9

non ce n'est pas la seule combinaison possible je crois.
P.S: j'ai ajouté une condition a l'exercice.

oui,il me semble qu'il y a plusieur cas , et ou est ce systeme ? ; par exemple 2e+i=e et m+n+l=l .... puis 2e+i=e et 1+m+n+l=10+l .... Edit : je vois que yasserito a répondu avant moi

yasserito a écrit:

P.S: j'ai ajouté une condition a l'exercice.
P.S:Pour réduire le nombre de solutions possibles j'ajoute une condition:''a>=c>=d>=e....selon l'ordre alphabétique.''

Je trouve que ça n'a pas de sens que tu ajoutes cette condition. C'est comme si en gros tu donnais les réponses tous simplement.
a=9 , c=8 , d=7 ..... et ça c'est impossible.

P.S: Personnelement je ne vois qu'une combinaison possible puisqu'il y a des équations qui ne changeront pas exemple : a=i+1, e+i=10 , m+n=9 , e+u=8 ...

Amicalement

Top-Math a écrit:

yasserito a écrit:

P.S: j'ai ajouté une condition a l'exercice.
P.S:Pour réduire le nombre de solutions possibles j'ajoute une condition:''a>=c>=d>=e....selon l'ordre alphabétique.''

Je trouve que ça n'a pas de sens que tu ajoutes cette condition. C'est comme si en gros tu donnais les réponses tous simplement.
a=9 , c=8 , d=7 ..... et ça c'est impossible.

P.S: Personnelement je ne vois qu'une combinaison possible puisqu'il y a des équations qui ne changeront pas exemple : a=i+1, e+i=10 , m+n=9 , e+u=8 ...

Amicalement

C plus grand ou égale ''Top-math''.Prière de bien lire les données avant de repondre et de
rédiger une solution bien organisée, et pour votre connaissance cet exercice était un ancien olympiad de tronc commun Tétouan-Tanger 1992.

yasserito Il y a 10 lettres et 10 chiffres à mettre C'est ça ? donc chaque lettre remplace un même chiffre c'est comme dans tout cryptarithme (tu peux chercher sur Google pour avoir plus d'informations sur ce genre de casse-tête)
Par conséquent a =! c =! d =! e ...

N'oublie pas aussi qu'avant que cet exercice ne soit posé aux olympiades de tronc commun Tétouan-Tanger 1992 il a été proposé au Championnat International des Jeux Mathématiques et Logiques en mars 1991

Amicalement

Soukaina Amaadour a écrit:

Que quelqu'un poste donc d'autres problèmes

Exo 1 : Montrer que pour tout x,y différent de 0 , l'inégalité suivante : . .

Pour le deuxième:

Soit n et p les solutions entières de x²-ax+b=0 tel que n#p
donc (x-n)(x-p)=0 d'ou x²-(n+p)x+np=0
d'ou x²-ax+b = x²-(n+p)x+np Donc a=n+p et b=np
Puisque b et a sont premiers on aura b=n et p=1 ou bien b=p et n=1
Supposons que b=n et p=1
On aura a=b+1 donc a et b sont successifs d'ou l'un deux est pair, le seul nombre premier et paire en même temps est 2 donc a=3 et b=2 ce qui vérifie l'ennoncé.

Azerty1995 a écrit:

Pour le deuxième:

Soit n et p les solutions entières de x²-ax+b=0 tel que n#p
donc (x-n)(x-p)=0 d'ou x²-(n+p)x+np=0
d'ou x²-ax+b = x²-(n+p)x+np Donc a=n+p et b=np
Puisque b et a sont premiers on aura b=n et p=1 ou bien b=p et n=1
Supposons que b=n et p=1
On aura a=b+1 donc a et b sont successifs d'ou l'un deux est pair, le seul nombre premier et paire en même temps est 2 donc a=3 et b=2 ce qui vérifie l'ennoncé.

qui t`a permet de dire que a et b sont premiers

Oty a écrit:

Soukaina Amaadour a écrit:

Que quelqu'un poste donc d'autres problèmes

Exo 1 : Montrer que pour tout x,y différent de 0 , l'inégalité suivante : .

Exo 2 : soient a et b des nombres premiers positifs , tel que l'equation : x²-ax+b=0 admets deux solutions entieres distinctes . Déterminer a et b .

.

Exo 3: Resoudre l'equation suivante :

EX 1:
on a LHS-RHS=1/x² +1/y²+1/(x-y)² - 4/(xy) = (1/x-1/y)² -2/(xy)+1/(x-y)²

pour montre que LHS-RHS sup= 0 ,il suffit de M.Q: -2/(xy)=2(1/x-1/y)(1/(x-y))
on a 2(1/x-1/y)(1/(x-y)) =2( 1/(x(x-y)) - 1/(y(x-y)) ) = -2/xy

d'où LHS-RHS=(1/x - 1/y - 1/(x-y) )² sup = 0 implique LHS sup= RHS

alidos a écrit:

Azerty1995 a écrit:

Pour le deuxième:

Soit n et p les solutions entières de x²-ax+b=0 tel que n#p
donc (x-n)(x-p)=0 d'ou x²-(n+p)x+np=0
d'ou x²-ax+b = x²-(n+p)x+np Donc a=n+p et b=np
Puisque b et a sont premiers on aura b=n et p=1 ou bien b=p et n=1
Supposons que b=n et p=1
On aura a=b+1 donc a et b sont successifs d'ou l'un deux est pair, le seul nombre premier et paire en même temps est 2 donc a=3 et b=2 ce qui vérifie l'ennoncé.

qui t`a permet de dire que a et b sont premiers

lire bien l'exo ! !

Oty a écrit:

Soukaina Amaadour a écrit:

Que quelqu'un poste donc d'autres problèmes

Exo 1 : Montrer que pour tout x,y différent de 0 , l'inégalité suivante : .

Exo 2 : soient a et b des nombres premiers positifs , tel que l'equation : x²-ax+b=0 admets deux solutions entieres distinctes . Déterminer a et b .

.

Exo 3: Resoudre l'equation suivante :

Pour le deuxième exercice : Pour que l'équation x²-ax+b=0 admet deux solution entière distincte, il suffit que le discriminant soit un carée parfait, donc il existe un p £ IN tel que Delta = a^2-4b = p^2
b = a²/4 -p²/4
S(a,b,p) = {(2k ; k²-k' ; 2k' / k,k' £ IN }

Oty a écrit:

Exo 3: Resoudre l'equation suivante :

x,y,z appartiennent à IR* ?

[quote="alidos"][quote="Azerty1995"]Pour le deuxième:

Soit n et p les solutions entières de x²-ax+b=0 tel que n#p
donc (x-n)(x-p)=0 d'ou x²-(n+p)x+np=0
d'ou x²-ax+b = x²-(n+p)x+np Donc a=n+p et b=np
[u]Puisque b et a sont premiers [/u]on aura b=n et p=1 ou bien b=p et n=1
Supposons que b=n et p=1
On aura a=b+1 donc a et b sont successifs d'ou l'un deux est pair, le seul nombre premier et paire en même temps est 2 donc a=3 et b=2 ce qui vérifie l'ennoncé.[/quote]



qui t`a permet de dire que a et b sont premiers[/quote]
Ils sont premiers d'apres l'ennoncé