Bonjour;
Exercice n° 1 .
1.
quelque soit x € ]0 ; + inf[ on a : x + 1/x - 2 = (x² + 1 - 2x)/x = (x - 1)²/x >= 0 ;
donc quelque soit x € ]0 ; + inf[ on a : x + 1/x >= 2 .
ab = (c + 1/d)(d + 1/c) = cd + 1 + 1 + 1/(cd) = 2 + cd + 1/(cd) >= 4 .
2.
On a : a = c 1/d = (cd + 1)/d et b = d + 1/c = (cd + 1)c ;
donc : ab = (cd + 1)²/(cd) ;
donc : ab + cd = (cd + 1)²/(cd) + cd = [(cd + 1)² + (cd)²]/(cd) = [2(cd)² + 2cd + 1)/(cd) .
Étudions la fonction f définie sur ]0 ; + inf[ par f(x) = (2x² + 2x + 1)/x .
On a : f ' (x) = [(4x + 2) - 2x² - 2x - 1]/x² = (4x² + 2x - 2x² - 2x - 1)/x² = (2x² - 1)/x² ;
donc : f ' est strictement négative sur ]0 ; racine(2)/2[ ;
strictement positive sur ]racine(2)/2 ; + inf[ et nulle pour x = racine(2)/2 ;
donc : f est strictement décroissante sur ]0 ; racine(2)/2[ ;
strictement croissante sur ]racine(2)/2 ; + inf[ et admet un extremum en x = racine(2)/2 :
cet extremum est en fait un minimum rt qui est f(racine(2)/2) = 2(racine(2) + 1) .
Conclusion : La valeur minimale de ab + cd est 2(racine(2) + 1) .
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