DEVOIR n3 OLYMPIADE TRONC COMMUN 09 Février 2018

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Bonjour ;

Soit x un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que : 19p + 1 = x² ;
donc on a : 19p = x² - 1= (x - 1)(x + 1) .

Si x - 1 = 1 ;
donc : x = 2 ;
donc : p = 2 ;
mais on a : 19 * 2 + 1 = 39 qui n'est pas un carré parfait .

Si x - 1 >= 2 ;
donc on a : x - 1 divise 19 ou x - 1 divise p .
a) Supposons que x - 1 divise 19 ;
donc : x - 1 = 19 ;
donc : x = 20 ;
donc : p = (20² - 1)/19 = 21 .
b) Supposons que x - 1 divise p ;
donc : p = x - 1 et x + 1 divise 19 ;
donc : x + 1 = 19 et p = x - 1 ;
donc : x = 18 et p = 18 - 1 = 17 .

Conclusion : p est soit égal à 17 soit à 21 .

aymanemaysae a écrit:

Bonjour ;
Si x - 1 = 1 ;
donc : x = 2 ;
donc : p = 2 ;
mais on a : 19 * 2 + 1 = 39 qui n'est pas un carré parfait .

Je pense qu'il y a une erreur d'inattention dans ce qui est en rouge. Mais le résultat de ce passage est correct.
Je pense aussi qu'il y a encore un passage à perfectionner:

aymanemaysae a écrit:

Si x - 1 >= 2 ;
donc on a : x - 1 divise 19 ou  x - 1 divise p .

Pour pouvoir dire cela, il faut que et soient premiers entre eux. Ce qui est le cas si et seulement si est pair.
Dans le cas où est impair, on trouve que divise ce qui est absurde.