Ecriture decimale

Montrer que l'ecriture décimale du nombre n! peut commencer par une sequence de chiffres arbitraire !

- meme question pour n^n

!

Rappelons que désigne la partie décimale de et que si et ont la même partie entière , tels que et alors
Soit une séquence arbitraire d'entiers naturels et posons , supposons qu'il existe un entier tel que pour tout entier on ait , on va essayer de chercher une contradiction à cette hypothèse, la suite définie par est bornée on peut alors en extraire une suite convergeant vers une certaine limite strictement positive et inférieure à , définissons



En travaillant avec n assez grand il est immédiat que M_n est strictement inférieur à 10^{phi(n)+1}-10^{phi(n)} de sorte que les entiers pour 1=< i< M_n aient tous la même partie entière, dans la suite il faut garder à l'esprit l'inégalité (*)



et l'égalité



fixons assez petit de sorte que pour tout on a , pour trouver une contradiction on essayera de prouver que pour assez grand ,

donc il est suffisant d'établir l'inégalité

,

car





si , il est clair que pour assez grand car pour un tel les deux réels et sont assez proche et



si on a choisit on peut conclure. Si la limite est differente de 1 alors pour on a . Or, pour fixé ( ou bien ne dépassant pas une certaine valeur ) il est facile de remarquer que quand donc M_n dépasse k pour assez grand pour satisfaire la première inégalité (*) et vu que ne peut pas tendre vers et où est un entier fixé qui vérifie , et pour toujours assez grand on a
il vient :


et comme

on déduit alors que


ainsi toujours avec assez grand on obtient de même


d'ou la contradiction voulue
Maintenant choisissons un entier de sorte que , ainsi on déduit directement l'inégalité

,

pour un certain vérifiant:



donc l'existence d'un entier vérfiant ainsi n! s'écrit avec ce qui traduit exactement l'énoncé du problème