trouver n pour que une fraction soit decimale

Trouver tous les entiers pour lesquels la fraction est un nombre décimal.

1/n(n+3) décimal <==> n(n+3) divise 10^k avec k entier >0.
Donc n=2^a5^b et n+3=2^c5^d ( car les seuls diviseurs premiers possibles de n et de n+3 sont 2 et 5).
Si n est pair, alors n+3 est impair ==> n+3=5^d=2^a5^b+3
==> 5^b( 5^(d-b)-2^a)=3 ==> b=0 , d=1 et a=1 ==> n=2.
Si n est impair, alors n=5^b=2^c5^d-3 ==> 5^d(2^c-5^(b-d))=3
==> d=0, c=3 et b=1 ou d=0, c=2 et b=0 ==> n=5 ou n=1
sauf erreur

Il y a aussi n=125.

Salam,
en fait, pourquoi pas le n=2 ?!

Ah oui, déjà cité

voilà!
Si n est pair, alors n+3 est impair ==> n+3=5^d=2^a5^b+3
==> 5^b( 5^(d-b)-2^a)=3 ==> b=0 et 5^d-2^a=3 et n=2^a avec a tel que 2^a+3=5^d

Si n est impair, alors n=5^b=2^c5^d-3 ==> 5^d(2^c-5^(b-d))=3
==> d=0 et n=5^b avec b tel que 5^b+3=2^c

Donc il reste à chercher les a tel que 2^a + 3 ou 2^a-3 est une puissance de 5.

on peut prendre directement

voila une solution

Ps modifier par l'admin

L'équation 5^a+3=2^b admet que (0,2) , (1,3) et (3, 8 ) comme solutions.
La démonstration de mahmoud16 est compliquée . On aimerai bien avoir une solution simple de ce résultat ( utilisant par exemple le petit th. de Fermat)